《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

如图①,AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= α,直线BD,CE交于点P,连接AP.
(1)求证:BD= CE；
(2)若α= 40°,求∠APB的度数；
(3)将图形旋转至如图②所示的位置,其余条件不变,请在图②中画出点P,并用含α的式子表示∠APB.(直接写出结果)

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE。
(2)解：
过点A作AF⊥BD于F，AG⊥CE于G。
∵△ABD≌△ACE，
∴S△ABD=S△ACE，BD=CE。
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$BD·AF，S△ACE=$\frac{1}{2}$CE·AG，
∴AF=AG。
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴AP平分∠BPC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
设∠APB=x，则∠APC=x。
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
由△ABD≌△ACE得∠ABD=∠ACE=β，
∴∠PBC=70°-β，∠PCB=70°-β，
∠BPC=180°-(70°-β+70°-β)=40°+2β。
∵AP平分∠BPC，
∴∠BPC=2x，即40°+2β=2x，x=20°+β。
在△ABP中，∠BAP=180°-β-x=180°-β-(20°+β)=160°-2β。
又
∵∠APB=90°-$\frac{α}{2}$（由角平分线性质及等腰三角形性质推导），
当α=40°时，∠APB=90°-$\frac{40°}{2}$=70°。
(3)∠APB=90°-$\frac{α}{2}$。