《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 求证:当n是整数时,两个连续奇数的平方差$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$是8的倍数.

答案： 证明：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2 &= [(2n+1) + (2n-1)][(2n+1) - (2n-1)] \\&= (4n)(2) \\&= 8n\end{aligned}$
因为 $n$ 是整数，所以 $8n$ 是 8 的倍数。
即当 $n$ 是整数时，$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$ 是 8 的倍数。

定义:若一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差,且$m-n＞1$,则称这个正整数为智慧优数.例如,$16= 5^{2}-3^{2}$,16就是一个智慧优数,可以利用$m^{2}-n^{2}= (m+n)(m-n)$进行研究.若将智慧优数从小到大排列,则第3个智慧优数是______15,第23个智慧优数是______64.

答案： 【解析】：智慧优数定义为可表示为$a×b$（$a ＞ b ≥ 2$，$a,b$同奇偶）的正整数，即$m² - n²=(m+n)(m-n)=a×b$，$m,n$为正整数且$m - n ＞ 1$。需列举并排序此类数：
1. 列举符合条件的数（从小到大，去重）：
8（4×2），12（6×2），15（5×3），16（8×2），20（10×2），21（7×3），24（12×2/6×4），28（14×2），32（16×2/8×4），33（9×3），35（7×5），36（18×2），40（20×2/10×4），44（22×2），45（15×3/9×5），48（24×2/12×4/8×6），51（17×3），55（11×5），56（14×4），57（19×3），60（10×6），63（21×3/9×7），64（32×2/16×4）...
2. 排序后编号：
1:8，2:12，3:15，4:16，5:20，6:21，7:24，8:28，9:32，10:33，11:35，12:36，13:40，14:44，15:45，16:48，17:51，18:55，19:56，20:57，21:60，22:63，23:64。
第3个为15，第23个为64。
【答案】：15,64