《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 求证：当$n$是整数时,$(2n+1)^{2}-1$是8的倍数.

答案： 证明：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - 1 &= (2n+1+1)(2n+1-1) \quad (平方差公式) \\&= (2n+2)(2n) \quad (合并同类项) \\&= 2(n+1) \cdot 2n \quad (提公因式) \\&= 4n(n+1) \quad (化简)\end{aligned}$
因为 $n$ 是整数，所以 $n$ 与 $n+1$ 是两个连续整数，必有一个是偶数，即 $n(n+1)$ 是 2 的倍数。
设 $n(n+1) = 2k$（$k$ 为整数），则原式 $= 4 \cdot 2k = 8k$。
因此，$(2n+1)^2 - 1$ 是 8 的倍数。
结论：当 $n$ 是整数时，$(2n+1)^2 - 1$ 是 8 的倍数。

已知一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,且$a^{2}-3bc+3ac-ab= 0$,试判断这个三角形的形状,并证明.

答案： 这个三角形是等腰三角形，证明如下：
$\begin{aligned}a^{2}-3bc+3ac-ab&=0\\a^{2}-ab+3ac-3bc&=0\\a(a - b)+3c(a - b)&=0\\(a - b)(a + 3c)&=0\end{aligned}$
因为三角形三边长 $a,b,c$ 均为正数，所以 $a + 3c＞0$，则 $a - b=0$，即 $a = b$。
故这个三角形是等腰三角形。