《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

9. 如图,AC 平分∠DCB,CB= CD,DA 的延长线交 BC 于点 E,连接 AB.若∠EAC= 49°,则∠BAE 的度数是______82.

答案： 82

10. 如图,AB//DE,AB= DE,AF= DC.求证:∠B= ∠E.

答案： 证明：
∵AB//DE，
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
∠A=∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴∠B=∠E。

11. 如图,在△ABC 中,∠B= 50°,∠C= 20°.过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,延长 EA 至点 D,使 AD= AC.在边 AC 上截取 AF= AB,连接 DF.求证:DF= CB.

答案： 证明：
根据三角形内角和为$180^\circ$，已知$\angle B=50^\circ$，$\angle C=20^\circ$，可得：
$\angle CAB=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-50^\circ-20^\circ=110^\circ$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEC=\angle AEB=90^\circ$。
在$\triangle AEB$中，$\angle BAE=180^\circ-\angle AEB-\angle B=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ$。
在$\triangle AEC$中，$\angle CAE=180^\circ-\angle AEC-\angle C=180^\circ-90^\circ-20^\circ=70^\circ$。
所以$\angle CAD=180^\circ-\angle CAE=180^\circ-70^\circ=110^\circ$，则$\angle CAB=\angle CAD$。
在$\triangle DAF$和$\triangle CAB$中：
$AD=AC$，$\angle DAF=\angle CAB$，$AF=AB$。
根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可得$\triangle DAF\cong\triangle CAB$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$DF=CB$。
综上所述，可证得$DF=CB$。

如图,OA= OB,OC= OD,∠AOB= ∠COD= 90°,P 是 BD 的中点,连接 OP.试用等式表示线段 AC 与 OP 之间的数量关系,并证明.

答案： AC=2OP。
证明：延长OP至点Q，使PQ=OP，连接BQ。
∵P是BD中点，
∴BP=DP。
在△OPD和△QPB中，
$\left\{\begin{array}{l} OP=QP \\ ∠OPD=∠QPB \\ PD=PB\end{array}\right.$
∴△OPD≌△QPB（SAS），
∴OD=BQ，∠ODP=∠QBP。
∵OD=OC，
∴BQ=OC。
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l} OA=OB \\ ∠AOC=∠BOD \\ OC=OD\end{array}\right.$
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD。
∵∠ODP=∠QBP，∠ODP=∠OBD+∠BOD，∠QBP=∠OBQ+∠OBD，
∴∠BOD=∠OBQ。
又
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠OBQ。
在△AOC和△OBQ中，
$\left\{\begin{array}{l} OA=OB \\ ∠AOC=∠OBQ \\ OC=BQ\end{array}\right.$
∴△AOC≌△OBQ（SAS），
∴AC=OQ。
∵OQ=OP+PQ=2OP，
∴AC=2OP。