《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

11. 如图,点 B,F,C,E 在直线 l 上(点 F,C 之间的距离不能直接测量),点 A,D 在直线 l 异侧,测得$AB= DE,AC= DF,BF= EC$.
(1) 求证:$\triangle ABC\cong \triangle DEF$;
(2) 写出图中所有平行的线段,并说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(SSS)。
(2) AB//DE，AC//DF。
理由：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB//DE(内错角相等，两直线平行)，
AC//DF(内错角相等，两直线平行)。

12. 如图,$AB= AC,AD= AE,BD= CE$,连接 DE,且点 B,D,E 在同一条直线上.求证:$\angle 3= \angle 1+\angle 2$.

答案： 证明：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SSS）．
∴∠ADB=∠AEC（全等三角形对应角相等）．
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB+∠ADE=180°（平角定义）．
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠DAE=180°（三角形内角和定理），
∴∠ADB=∠AED+∠DAE（等量代换）．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠2（等边对等角）．
又
∵∠DAE=∠1，∠ADB=∠3，
∴∠3=∠1+∠2．

如图,在△ABC 中,$AC= BC$,D 是 AB 上的一点,$AE\perp CD$于点 E,$BF\perp CD$于点 F.若$CE= BF$,$AE= EF+BF$,试判断直线 AC 与 BC 的位置关系,并说明理由.

答案： AC⊥BC。理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°。
∵AE=EF+BF，CE=BF，
∴AE=EF+CE=CF。
在△AEC和△CFB中，
$\begin{cases}AE=CF, \\\angle AEC=\angle CFB=90^\circ, \\CE=BF,\end{cases}$
∴△AEC≌△CFB（SAS）。
∴∠ACE=∠CBF。
∵在Rt△BFC中，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，即∠ACB=90°。
∴AC⊥BC。