《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 在△ABC中,AC＜AB＜BC.
(1)如图①,线段AB的垂直平分线与边BC交于点P,连接AP,求证:∠APC= 2∠B；
(2)如图②,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与边BC交于点Q,连接AQ.若∠AQC= 3∠B,求∠B的度数.

答案：
(1)证明：
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B。
∵∠APC是△PAB的外角，
∴∠APC=∠PAB+∠B=∠B+∠B=2∠B。
(2)解：设∠B=x。
∵以B为圆心，AB为半径画弧交BC于Q，
∴BQ=AB，
∴∠BAQ=∠BQA。在△ABQ中，∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴2∠BQA+x=180°，∠BQA=(180°-x)/2。
∵∠BQA+∠AQC=180°，∠AQC=3x，
∴(180°-x)/2 + 3x=180°，解得x=36°。即∠B=36°。

(1)若∠MON= 30°,可以得到的最后一个等腰三角形是△P₁P₂P₃；
(2)若按照上述方式操作,得到的最后一个等腰三角形是$△P_3P_4P_5,$则∠MON的度数α的取值范围是18°≤α＜22.5°.

答案：
(1) △P₁P₂P₃
(2) 18°≤α＜22.5°