《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

10. 如图,AD是△ABC的高,E是AC上一点,BE交AD于点H,且BH= AC,DH= DC.求证:BE⊥AC.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△BDH和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} BH=AC\\ DH=DC\end{array}\right.$
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（HL）．
∴∠BHD=∠C．
∵∠BHD=∠AHE（对顶角相等），
∴∠AHE=∠C．
在△ADC中，∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∴∠AHE+∠CAD=90°．
在△AEH中，∠AHE+∠CAD+∠AEH=180°，
∴∠AEH=180°-（∠AHE+∠CAD）=180°-90°=90°．
∴BE⊥AC．

11. 如图,AD是△ABC的中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE= CF.求证:
(1)△BDE≌△CDF；
(2)AE= AF.

答案：
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ BE=CF\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
(2) 由
(1)知△BDE≌△CDF，
∴DE=DF。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD\\ DE=DF\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。