《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AP平分∠BAC交BD于点P.
(1)求∠APD的度数；
(2)若∠BDC= 58°,求∠BAP的度数.

答案：
(1)
设$\angle ABC = 2\beta$，因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC = \beta$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle BAC = 90^{\circ}-2\beta$。
因为$AP$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAP=\frac{1}{2}\angle BAC = 45^{\circ}-\beta$。
在$\triangle ABP$中，$\angle APD$是外角，根据三角形外角性质$\angle APD=\angle ABP+\angle BAP$。
$\angle APD=\beta + 45^{\circ}-\beta=45^{\circ}$。
(2)
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC = 58^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，由三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DBC=180^{\circ}-90^{\circ}-58^{\circ}=32^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABC = 2\angle DBC = 64^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle C-\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ}$。
因为$AP$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAP=\frac{1}{2}\angle BAC = 13^{\circ}$。

(1)若∠B= 34°,∠ACB= 86°,则∠E的度数为26°；
(2)用等式表示∠E,∠B与∠ACB之间的数量关系,并说明理由.
$∠E=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$
理由：
∵AD平分∠BAC
∴$∠BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$
∵$∠BAC = 180^{\circ}-(\angle B+\angle ACB)$
∴$∠BAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(\angle B+\angle ACB))=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle ACB)$
∴$∠ADC=\angle B+\angle BAD=\angle B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle ACB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B-\angle ACB)$
∵$PE\perp AD$
∴$∠DPE = 90^{\circ}$
∴$∠E=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B - \angle ACB))=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$

答案：
(1)
$\because\angle B = 34^{\circ}$，$\angle ACB = 86^{\circ}$
$\therefore\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB = 60^{\circ}$
$\because AD$平分$\angle BAC$
$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$
$\therefore\angle ADC=\angle B+\angle BAD = 64^{\circ}$
$\because PE\perp AD$
$\therefore\angle DPE = 90^{\circ}$
$\therefore\angle E=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle ADC = 26^{\circ}$
(2)
$\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$
理由：
$\because AD$平分$\angle BAC$
$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$
$\because\angle BAC = 180^{\circ}-(\angle B+\angle ACB)$
$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(\angle B+\angle ACB))=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle ACB)$
$\therefore\angle ADC=\angle B+\angle BAD=\angle B + 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle ACB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B-\angle ACB)$
$\because PE\perp AD$
$\therefore\angle DPE = 90^{\circ}$
$\therefore\angle E=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle B - \angle ACB))=\frac{1}{2}(\angle ACB-\angle B)$