《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 有一块长方形绿地,现进行如下改造:将这块绿地的长减少2m,宽增加2m.改造后得到一块正方形绿地,它的面积是原绿地面积的2倍,求改造后的正方形绿地的面积.

答案： 设改造后的正方形绿地边长为$x$米，则原长方形绿地的长为$(x + 2)$米，宽为$(x - 2)$米。
原绿地面积为$(x + 2)(x - 2)$，改造后正方形绿地面积为$x^2$。
依题意，得$x^2 = 2(x + 2)(x - 2)$。
由平方差公式，$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$，代入方程得：
$x^2 = 2(x^2 - 4)$。
展开得：$x^2 = 2x^2 - 8$。
移项化简：$2x^2 - x^2 = 8$，即$x^2 = 8$。
答：改造后的正方形绿地的面积为$8$平方米。

(1)观察下列各式,找出蕴含的规律:
$(a-b)(a+b)= a^{2}-b^{2},$
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})= a^{3}-b^{3},$
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})= a^{4}-b^{4},$
...
可得到$(a-b)(a^{2024}+a^{2023}b+… +ab^{2023}+b^{2024})= $$a^{2025}-b^{2025}$;
(2)猜想：
$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+… +ab^{n-2}+b^{n-1})= $$a^n - b^n$(其中n为正整数,且$n\geqslant 2$);
(3)利用(2)中结论计算:
①$2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1=$255;
②$2^{9}-2^{8}+2^{7}-2^{6}+… +2^{3}-2^{2}+2=$342.

答案：
(1)$a^{2025}-b^{2025}$；
(2)$a^n - b^n$；
(3)①255；②342