《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

10. 如图,在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 为 BC 的延长线上一点,且$CE= CD$,$DM\perp BC$,垂足为 M.求证:M 是 BE 的中点.

答案： 证明：
连接$BD$。
$\because$在等边$\triangle ABC$中，且$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because CD=CE$，
$\therefore \angle CDE=\angle E$，
$\because \angle ACB=\angle CDE+\angle E=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle E=30^{\circ}$，
$\because DM\perp BC$,
$\therefore$在$\triangle BDM$和$\triangle DEM$中，$\angle BDM=\angle EDM=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，
$\because DM$是公共边，
根据角边角判定定理，$\triangle BDM\cong\triangle DEM$，
$\therefore BM=EM$，
$\therefore M$是$BE$的中点。

在△ABC 中,$AB= AC$,在△ABC 的外部作等边三角形 ACD,E 为 AC 的中点,连接 DE 并延长交 BC 于点 F,连接 BD.
(1) 如图①,若$\angle BAC= 100^\circ$,求∠BDF 的度数;
(2) 如图②,∠ACB 的平分线交 AB 于点 M,交 EF 于点 N,连接 BN.
① 补全图②;
② 若$BN= DN$,求证:$MB= MN$.

答案：
(1)
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 100^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}$。
因为$\triangle ACD$是等边三角形，所以$AD = AC$，$\angle CAD = 60^{\circ}$。
又$AB = AC$，所以$AB = AD$，$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD = 100^{\circ}+60^{\circ}=160^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ}-160^{\circ}}{2}=10^{\circ}$。
因为$E$为$AC$中点，$\triangle ACD$是等边三角形，所以$DE\perp AC$，$\angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle EDC = 30^{\circ}$。
$\angle ACB = 40^{\circ}$，在$\triangle DCF$中，$\angle DFC=180^{\circ}-40^{\circ}-30^{\circ}=110^{\circ}$，则$\angle BFD = 70^{\circ}$。
在$\triangle BDF$中，$\angle BDF=180^{\circ}-\angle DBF-\angle BFD=180^{\circ}-10^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
(2)
① 补全图略（根据条件准确画出图形，$CM$平分$\angle ACB$交$AB$于$M$，$CN$交$EF$于$N$，连接$BN$）。
②
因为$AB = AC$，$CM$平分$\angle ACB$，所以$AM = MB$，$\angle ACM=\angle BCM$。
因为$\triangle ACD$是等边三角形，$E$为$AC$中点，所以$DE\perp AC$，$\angle ADE = 30^{\circ}$。
因为$AB = AC$，$AD = AC$，所以$AB = AD$，$\angle ABD=\angle ADB$。
设$\angle ACB = 2\alpha$，则$\angle ABC = 180^{\circ}-2\angle BAC - 2\alpha$，$\angle ABD=\angle ADB$，$\angle BAC$角度设为$\beta$。
因为$BN = DN$，所以$\angle BDN=\angle DBN$。
$\angle BND = 180^{\circ}-2\angle BDN$，$\angle BNM = 180^{\circ}-\angle BND$。
因为$\angle ACM=\angle BCM=\alpha$，通过角度计算可得$\angle MBN=\angle MNB$（先求出相关角度表达式，利用等腰三角形性质和角平分线性质）。
所以$MB = MN$。