《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

8. 如图,电信部门要修建一座电视信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路CF和DE的距离也必须相等,发射塔应修建在什么位置?请用尺规作图标出它的位置.

答案： 1. 作线段AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线$l$。
2. 作直线CF与DE相交所成角的平分线：以CF与DE的交点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交CF、DE于点M、N；分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP（射线OP及其反向延长线为角平分线）。
3. 直线$l$与射线OP（或其反向延长线）的交点即为发射塔位置。

9. 如图,已知P为△ABC的边AB上一点.
(1)请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP= AC;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)中所作的图中,如果AC= 6 cm,AP= 3 cm,求△APE的周长.

答案：
(2) 9cm。

如图,在△ABC中,AB＞BC,射线BP平分∠ABC,作直线l垂直平分AC,交BP于点D,连接AD,CD.
(1)补全图形;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)判断∠BAD和∠BCD的数量关系,并给出证明.

答案：
(1) （作图痕迹：分别以A、C为圆心，大于AC一半长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线l（AC的垂直平分线），交BP于点D，连接AD、CD）
(2) ∠BAD=∠BCD。
证明：
∵直线l垂直平分AC，
∴AD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
∵BP平分∠ABC，
∴点D到AB、BC的距离相等（角平分线上的点到角两边距离相等）。
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，则DE=DF，∠AED=∠CFD=90°。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE=∠DCF，即∠BAD=∠BCD。