《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

11. 如图,在△ABC中,∠B= ∠C,D是边BC上的一动点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则当点D移动到什么位置时,AD恰好平分∠BAC?请说明理由.

答案： 当点D移动到BC的中点时，AD平分∠BAC。
理由如下：
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle BED=\angle CFD = 90^{\circ}$。
又因为点D是BC的中点，所以$BD = CD$。
已知$\angle B=\angle C$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BED=\angle CFD,\\\angle B=\angle C,\\BD = CD.\end{cases}$
根据AAS（角角边）定理可得$\triangle BED\cong\triangle CFD$。
所以$DE = DF$。
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$DE = DF$，所以点D在$\angle BAC$的平分线上，即AD平分$\angle BAC$。
故当点D移动到BC的中点时，AD平分$\angle BAC$。

12. 如图,D为△ABC外一点,DA= DB,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,∠DAC= ∠DBE.
(1)求证:CD平分∠ACE；
(2)若EC= 1,BC= 4,求AC的长.

答案： 1. （1）证明：
过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$DE\perp BC$，$DF\perp AC$，所以$\angle DFC=\angle DEC = 90^{\circ}$。
在$\triangle DAF$和$\triangle DBE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DFC=\angle DEC\\\angle DAC=\angle DBE\\DA = DB\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle DAF\cong\triangle DBE$。
所以$DF = DE$。
又因为$DF\perp AC$，$DE\perp BC$，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），所以$CD$平分$\angle ACE$。
2. （2）
因为$CD$平分$\angle ACE$，$DF\perp AC$，$DE\perp BC$，所以$\angle FCD=\angle ECD$，$\angle DFC=\angle DEC = 90^{\circ}$，且$CD = CD$。
根据$AAS$，可得$\triangle DCF\cong\triangle DCE$。
所以$CF = CE$。
已知$CE = 1$，则$CF = 1$。
由（1）知$\triangle DAF\cong\triangle DBE$，所以$AF = BE$。
因为$BE=BC + CE$，$BC = 4$，$CE = 1$，所以$BE=4 + 1=5$，即$AF = 5$。
而$AC=AF+CF$，所以$AC=5 + 1=6$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$AC$的长为$6$。