《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

21. (本小题 8 分)如图,在△ABC 中,∠ABC= ∠ACB,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,AE//BD 交 CB 的延长线于点 E.若∠BAC= 40°,请你选择图中现有的一个角并求出它的度数.(要求:不添加新的线段,所有给出的条件至少使用一次)

答案： 在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2=70°/2=35°.
∵AE//BD，
∴∠E=∠DBC=35°（两直线平行，同位角相等）.
故∠E=35°.

22. (本小题 8 分)用两种方法证明“三角形的外角和等于 360°”.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角.求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD= 360°.
证法 1:∵∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角,
∴∠BAE = ∠2 + ∠3，∠CBF = ∠1 + ∠3，∠ACD = ∠1 + ∠2.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD= 2(∠1+∠2+∠3).
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD= 360°.
证法 2:∵∠BAE + ∠BAC = 180°，∠CBF + ∠ABC = 180°，∠ACD + ∠ACB = 180°。
∴∠BAE + ∠BAC + ∠CBF + ∠ABC + ∠ACD + ∠ACB = 540°。
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
∴∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°。

答案： 证法 1：
∵∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，
∴∠BAE = ∠2 + ∠3，∠CBF = ∠1 + ∠3，∠ACD = ∠1 + ∠2。
∴∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3)。
∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 360°。
证法 2：
∵∠BAE + ∠BAC = 180°，∠CBF + ∠ABC = 180°，∠ACD + ∠ACB = 180°。
∴∠BAE + ∠BAC + ∠CBF + ∠ABC + ∠ACD + ∠ACB = 540°。
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
∴∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°。