《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修$(a^{2}-4)\ m$,乙工程队每天修$(a-2)^{2}\ m$(其中$a＞2$),甲工程队修$900\ m所用时间是乙工程队修600\ m所用时间的k$倍.试用含$a的式子表示k$.

答案： 根据题意，得$k = \frac{\frac{900}{a^{2} - 4}}{\frac{600}{(a - 2)^{2}}} = \frac{900(a - 2)^{2}}{600(a^{2} - 4)} = \frac{900(a - 2)^{2}}{600(a + 2)(a - 2)} = \frac{3(a - 2)}{2(a + 2)} = \frac{3a - 6}{2a + 4}$。

13. 有甲、乙两筐水果,甲筐水果的质量为$(x-1)^{2}\ kg$,乙筐水果的质量为$(x^{2}-1)\ kg$(其中$x＞1$),售完后,两筐水果都卖了$50$元.
(1) 哪筐水果的单价低?
(2) 高的单价是低的单价的多少倍?

答案：
(1) 甲筐单价：$\frac{50}{(x-1)^2}$元/kg，乙筐单价：$\frac{50}{x^2-1}=\frac{50}{(x-1)(x+1)}$元/kg。
因为$x＞1$，所以$(x-1)^2＜(x-1)(x+1)$，则$\frac{50}{(x-1)^2}＞\frac{50}{(x-1)(x+1)}$，故乙筐单价低。
(2) $\frac{\frac{50}{(x-1)^2}}{\frac{50}{(x-1)(x+1)}}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1}$。
(1) 乙筐；
(2) $\frac{x+1}{x-1}$倍。

如图,$a＞b＞0$,设$k= \frac{图①中阴影部分的面积}{图②中阴影部分的面积}$,求$k$的取值范围.

答案： 解：
1. 计算图①阴影部分面积：
图①为边长 $a$ 的大正方形内有一边长 $b$ 的小正方形，阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$ S_1 = a^2 - b^2 $。
2. 计算图②阴影部分面积：
图②为边长 $a$ 的大正方形，阴影部分为高 $(a - b)$、宽 $a$ 的矩形，面积为：
$ S_2 = a(a - b) $。
3. 计算 $k$ 的表达式：
$ k = \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2 - b^2}{a(a - b)} $。
因式分解分子：$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $，则：
$ k = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a} $。
4. 确定 $k$ 的取值范围：
由 $a ＞ b ＞ 0$，得 $0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$，故：
$ 1 + 0 ＜ 1 + \frac{b}{a} ＜ 1 + 1 $，即 $1 ＜ k ＜ 2$。
结论：$1 ＜ k ＜ 2$。