《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

5. 化简$\frac{x^2-1}{x+1}$的结果是$x - 1$.

答案： $x - 1$

6. 分式$\frac{1}{3x^2y^2}与-\frac{1}{4xy^3z}$的最简公分母为$12x^2y^3z$.

答案： 【解析】：确定最简公分母，取各分母系数的最小公倍数12，相同字母取最高次幂$x^2$、$y^3$，单独字母z保留，所以最简公分母为$12x^2y^3z$。
【答案】：$12x^2y^3z$

7. 若$a-b= 2ab$,则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值是$-2$.

答案： $-2$

8. 通分：
(1)$\frac{x}{6ab^2},\frac{y}{9a^2bc}$；
(2)$\frac{a-1}{a^2+2a+1},\frac{6}{a^2-1}$.

答案：
(1)
首先，找到两个分式的最简公分母。
观察两个分式的分母，$6ab^{2}$ 和 $9a^{2}bc$，我们可以得到它们的最小公倍数为 $18a^{2}b^{2}c$。
对于第一个分式，为了使其分母变为 $18a^{2}b^{2}c$，需要乘以 $\frac{3ac}{3ac}$，得到：
$\frac{x}{6ab^{2}} = \frac{x × 3ac}{6ab^{2} × 3ac} = \frac{3acx}{18a^{2}b^{2}c}$
对于第二个分式，为了使其分母变为 $18a^{2}b^{2}c$，需要乘以 $\frac{2b}{2b}$，得到：
$\frac{y}{9a^{2}bc} = \frac{y × 2b}{9a^{2}bc × 2b} = \frac{2by}{18a^{2}b^{2}c}$
(2)
首先，对两个分式的分母进行因式分解。
$a^{2} + 2a + 1 = (a + 1)^{2}$
$a^{2} - 1 = (a + 1)(a - 1)$
由此，我们可以得到它们的最小公倍数为 $(a + 1)^{2}(a - 1)$。
对于第一个分式，为了使其分母变为 $(a + 1)^{2}(a - 1)$，需要乘以 $\frac{a - 1}{a - 1}$，得到：
$\frac{a - 1}{(a + 1)^{2}} = \frac{(a - 1) × (a - 1)}{(a + 1)^{2} × (a - 1)} = \frac{(a - 1)^{2}}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$
对于第二个分式，为了使其分母变为 $(a + 1)^{2}(a - 1)$，需要乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$，得到：
$\frac{6}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{6 × (a + 1)}{(a + 1)(a - 1) × (a + 1)} = \frac{6(a + 1)}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$

9. 约分：
(1)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$；
(2)$\frac{m^2-3m+2}{m^2-m}$.

答案：
(1) 解：
原式 = $\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$
= $\frac{10}{-5} × \frac{a^3}{a^2} × \frac{b}{b^3} × \frac{c}{c^2}$
= $-2 × a × \frac{1}{b^2} × \frac{1}{c}$
= $-\frac{2a}{b^2c}$
(2) 解：
原式 = $\frac{m^2-3m+2}{m^2-m}$
首先进行因式分解，
分子：$m^2-3m+2 = (m-1)(m-2)$
分母：$m^2-m = m(m-1)$
所以，原式 = $\frac{(m-1)(m-2)}{m(m-1)}$
= $\frac{m-2}{m}$ （$m \neq 0$ 且 $m \neq 1$）

10. 先化简,再求值:$\frac{a^3-4ab^2}{a^3-4a^2b+4ab^2}$,其中$a= 2,b= -\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{a^3-4ab^2}{a^3-4a^2b+4ab^2}$
=$\frac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}$
=$\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}$
=$\frac{a+2b}{a-2b}$
当$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{2+2×(-\frac{1}{2})}{2-2×(-\frac{1}{2})}$
=$\frac{1}{3}$