《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

7. 如图,在2×2的正方形网格图中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出图中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有______个.

答案：

8. 如图,在△ABC中,AB= 3,AC= 4,BC= 5,点B,C关于直线EF对称,P是EF上的任意一点,连接PA,PB,则PA+PB的最小值是4.

答案： 4

9. 如图,在9×6的正方形网格中,A,B,C为小正方形的顶点,MN为网格线所在直线.用无刻度的直尺作图.
(1)作△ABC关于直线MN对称的三角形；
(2)作CD⊥AB交AB于点E,且CD= AB；
(3)作CE关于MN对称的线段.

答案： （1） 找到$A$、$B$、$C$三点关于直线$MN$的对称点$A^{\prime}$、$B^{\prime}$、$C^{\prime}$。
$A$点关于$MN$对称的点$A^{\prime}$在$MN$下方，与$A$在同一列，距离$MN$和$A$到$MN$的距离相等。
$B$点在$MN$上，对称点$B^{\prime}$就是$B$本身。
$C$点关于$MN$对称的点$C^{\prime}$在$MN$左侧，与$C$在同一行，距离$MN$和$C$到$MN$的距离相等。
连接$A^{\prime}$、$B^{\prime}$、$C^{\prime}$，得到$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，就是$\triangle ABC$关于直线$MN$对称的三角形。
（2）通过观察网格，利用勾股定理可得$AB = \sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
$CD\perp AB$，且$CD = AB=2\sqrt{5}$。
以$AB$为直径画一个圆（利用网格的对称性确定直径端点来画圆），然后通过$C$点作与$AB$垂直的直线（利用网格的垂直关系），与圆相交的点（除了$C$点关于$AB$的对称点等情况外，通过网格长度比例确定）使得$CD = AB$。
设$A$点坐标为$(0,4)$，$B$点坐标为$(2,0)$，$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{0 - 4}{2-0}=-2$，则$CD$斜率为$\frac{1}{2}$。
$AB$所在直线方程为$y-4=-2(x - 0)$，即$y=-2x + 4$。
设$C$点坐标为$(4,1)$，$CD$所在直线方程为$y - 1=\frac{1}{2}(x - 4)$，即$y=\frac{1}{2}x-1$。
联立$\begin{cases}y=-2x + 4\\y=\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}$（即$B$点），通过网格计算和直线关系找到$D$点位置，使得$CD\perp AB$且$CD = AB$，$D$点坐标为$(0, - 1)$，连接$C$、$D$，$CD$与$AB$相交于$E$点（$E$点坐标可通过解直线方程得到$(\frac{6}{5},\frac{8}{5})$ ）。
（3）找到$C$、$E$两点关于直线$MN$的对称点$C^{\prime}$、$E^{\prime}$。
$C$点关于$MN$对称的点$C^{\prime}$已在（1）中求出。
$E$点关于$MN$对称的点$E^{\prime}$，根据$E$点到$MN$的距离，在$MN$另一侧找到距离相等且在同一水平或垂直方向的点。
连接$C^{\prime}$、$E^{\prime}$，得到线段$C^{\prime}E^{\prime}$，就是$CE$关于$MN$对称的线段。

小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机.当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙),∠AOB的度数是______45°.

答案： 45°