《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 已知$x+y= 2$,且$(x+3)(y+3)= 12$.
(1)求xy的值;
(2)求$x^{2}+3xy+y^{2}$的值.

答案：
(1)
由已知条件，$(x+3)(y+3)=12$，
展开得：$xy + 3x + 3y + 9 = 12$，
整理得：$xy + 3(x+y) = 3$，
根据另一个已知条件，$x+y=2$，
代入上式得：$xy + 3 × 2 = 3$，
解得：$xy = -3$。
(2)
要求$x^{2}+3xy+y^{2}$的值，
我们可以将其改写为：$x^{2}+2xy+y^{2}+xy$，
利用完全平方公式，上式可进一步改写为：$(x+y)^{2}+xy$，
代入已知的$x+y=2$和$xy=-3$，
得：$2^{2} + (-3) = 4 - 3 = 1$，
所以，$x^{2}+3xy+y^{2} = 1$。

图①是一个长2m、宽2n的长方形,沿图中虚线用剪刀将其均分为四块小长方形,然后按图②所示的方式拼成一个正方形.
(1)用两种方法表示图②中阴影部分的面积;
(2)观察图②,请写出$(m+n)^{2}$,$(m-n)^{2}$,$mn$之间的数量关系式;
(3)根据(2)中的结论,已知$x+y= -6$,$xy= 2.75$,求$x-y$的值.

答案：
(1)方法一：阴影部分为边长为$m - n$的正方形，故面积表示为$(m - n)^{2}$；
方法二：大正方形面积为$(m + n)^{2}$，四个小长方形面积和为$4mn$，所以阴影部分面积表示为$(m + n)^{2}-4mn$。
(2)$(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$。
(3)由
(2)知$(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy$，把$x + y = - 6$，$xy = 2.75$代入可得：
$(x - y)^{2}=(-6)^{2}-4×2.75=36 - 11 = 25$，
则$x - y=\pm5$。