《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

如图,AB= AC,D 为 AB 上一点,CD= CE,∠BAC= ∠DCE= 90°,BE 交 AC 于点 F.求证:F 为 BE 的中点.

答案： 证明：过点E作EG⊥AC，交AC的延长线于点G。
∵∠BAC=90°，EG⊥AC，
∴∠BAC=∠EGC=90°（垂直定义），
∴AB//EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠ABF=∠GEF（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°（直角三角形两锐角互余），
∠ACD+∠GCE=90°（平角定义），
∴∠ADC=∠GCE（同角的余角相等）。
在△ADC和△GCE中，
∠ADC=∠GCE，
∠DAC=∠EGC=90°，
CD=CE（已知），
∴△ADC≌△GCE（AAS），
∴AC=EG（全等三角形对应边相等）。
∵AB=AC（已知），
∴AB=EG（等量代换）。
在△BFA和△EFG中，
∠BFA=∠EFG（对顶角相等），
∠ABF=∠GEF（已证），
AB=EG（已证），
∴△BFA≌△EFG（AAS），
∴BF=EF（全等三角形对应边相等），
即F为BE的中点。