《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

13. 如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,垂足为F,且BD= CD.求证：BE= CF.

答案： 证明：
由于$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
在$Rt \bigtriangleup DEB$和$Rt \bigtriangleup DFC$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\DE = DF.\end{cases}$
根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt \bigtriangleup DEB \cong Rt \bigtriangleup DFC$。
所以$BE = CF$。

14. 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F是OC上另一点.求证：DF= EF.

答案：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，∠PDO=∠PEO=90°。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
$\left\{\begin{array}{l} OP=OP\\ PD=PE\end{array}\right.$，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴OD=OE。
在△ODF和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l} OD=OE\\ ∠DOF=∠EOF\\ OF=OF\end{array}\right.$，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF。