《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

13. 如图,将一个边长为$a+b$的大正方形分割成四部分(两个小正方形和两个长方形).请认真观察图形,解答下列问题.
(1) 根据图中条件,请用两种方法表示该大正方形的面积;(用含$a$,$b$的式子表示)
(2) 如果图中的$a$,$b(a ＞ b)满足a^{2}+b^{2}= 57$,$ab= 12$,求$a+b$的值;
(3) 已知$(5+2x)^{2}+(2x+3)^{2}= 60$,求$(5+2x)(2x+3)$的值.

答案：
(1)
方法一：大正方形边长为$a + b$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得面积$S=(a + b)^{2}$。
方法二：大正方形由两个边长为$a$、$b$的小正方形和两个长为$a$、宽为$b$的长方形组成，所以面积$S=a^{2}+b^{2}+2ab$。
(2)
由
(1)知$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，
已知$a^{2}+b^{2}=57$，$ab = 12$，
则$(a + b)^{2}=57+2×12=57 + 24=81$，
因为$a\gt0$，$b\gt0$，所以$a + b\gt0$，
所以$a + b=\sqrt{81}=9$。
(3)
设$m = 5 + 2x$，$n = 2x + 3$，则$m - n=(5 + 2x)-(2x + 3)=2$。
因为$m^{2}+n^{2}=60$，$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，
所以$2^{2}=60-2mn$，
即$4 = 60-2mn$，
$2mn=60 - 4=56$，
则$mn = 28$，
所以$(5 + 2x)(2x + 3)=28$。

已知$(x-2023)^{2}+(x-2025)^{2}= 34$,求$(x-2024)^{2}$的值.

答案： 16