《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

11. 如图,在△ABC中,∠C= 90°.
(1)作∠ABC的平分线,交AC于点D(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不用写作法)；
(2)若CD= 3,AB+BC= 16,求△ABC的面积.

答案：
(1) 如图，$BD$为所求作的角平分线。
(2) 过点$D$作$DE\bot AB$于点$E$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\bot BC$），$DE\bot AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DC = 3$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}$，且$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot CD$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot DE$。
把$CD = DE = 3$代入上式得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(BC + AB)×3$。
已知$AB + BC = 16$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×16×3 = 24$。
故$\triangle ABC$的面积为$24$。

12. 如图,在四边形ABCD中,AB= AC,∠D= 90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF.
(1)求证：AF= AD；
(2)若BF= 7,DE= 3,求CE的长.

答案：
(1) 证明：
因为$EA$平分$\angle DEF$，
所以$\angle DEA = \angle FEA$。
因为$BE \perp AC$，
所以$\angle AFE = \angle D = 90^\circ$。
因为$AE = AE$（公共边），
根据AAS可得$\triangle ADE \cong \triangle AFE$，
所以$AF = AD$。
(2) 由
(1) 知，$\triangle ADE \cong \triangle AFE$，$AD = AF$，$DE = EF = 3$。
因为$AB = AC$，$BE \perp AC$，
所以$\angle FAB = \angle FAC$，$BF = FC = 7$。
所以$EF + CE = FC$，
即$CE = FC - EF = 7 - 3 = 4$。
综上，$CE$的长为4。