《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D.若CD= 3,求BD的长.

答案： 连接AD。
因为DE是AB的垂直平分线，所以DA = DB，∠B = ∠BAD = 30°。
因为∠BAC = 90°-∠B = 60°，所以∠DAC = 30°。
在Rt△ACD中，∠DAC = 30°，CD = 3，所以AD = 2CD = 6，故BD = AD = 6。

如图,△ABC是边长为6的等边三角形,边AC上一动点P由点A向点C运动(点P与点A,C不重合),Q是CB的延长线上一动点,以与点P相同的速度由点B向CB的延长线方向运动(点Q不与点B重合),P,Q两点同时开始运动.过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.当∠BQD= 30°时,求AP的长.

答案： 设AP的长为x，因为P、Q速度相同，运动时间相同，所以BQ=AP=x。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=6。
过P作PF//BC交AB于F，则△APF是等边三角形，
∴PF=AP=AF=x，∠AFP=60°。
∵PF//BC，
∴∠PFD=∠QBD，∠PDF=∠QDB，
∴△PFD∽△QBD，又PF=BQ=x，
∴△PFD≌△QBD，
∴FD=BD。
∵AB=6，AF=x，
∴FB=AB-AF=6-x，
∴BD=FB/2=(6-x)/2。
在△BQD中，∠BQD=30°，∠QBD=180°-∠ABC=120°，
∴∠QDB=180°-30°-120°=30°，
∴∠BQD=∠QDB，
∴BQ=BD。
∵BQ=x，BD=(6-x)/2，
∴x=(6-x)/2，解得x=2。
AP的长为2。