《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

16. 如图,点 P 在∠AOB 的平分线上,PC⊥OA 于点 C,∠AOB= 30°,点 D 在边 OB 上.若 OD= DP= 2,则线段 PC 的长为______1.

答案： 1

17. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(0,3),如果点 C 在第一象限内,且△ABC 为等腰直角三角形,那么点 C 的坐标是(4,1)，(3,4)，(2,2).

答案： (4,1)，(3,4)，(2,2)

18. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠ABC= 30°,AC= 6,D 是线段 AB 上的一个动点,以 BD 为边在△ABC 外作等边三角形 BDE.若 F 是 DE 的中点,则当 CF 的长取最小值时,△BDE 的周长为______.

答案：

19. (本小题 10 分)如图,△ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在 AB,AC 上,AD= CE,CD 与 BE 相交于点 F.
(1) 求证:∠ACD= ∠CBE;
(2) 在线段 CD 的延长线上求作一点 P,使得∠BPC= 60°.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
(1) 证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AC = BC$，$\angle A=\angle ACB = 60^{\circ}$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle A=\angle ACB\\AD = CE\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle CBE(SAS)$。
所以$\angle ACD=\angle CBE$。
(2) 以$B$为圆心，$BC$长为半径画弧交$CD$延长线于点$P$，点$P$即为所求。
因为$BP = BC$，$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = BC$，所以$BP = AB$。
$\angle BPC=\angle BCP$，$\angle ABC=\angle BDC+\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle BDC=\angle BDP = 60^{\circ}$，$\angle ABD+\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle ABD+\angle ABE=\angle EBC$，$\angle EBC=\angle ACD$，所以$\angle BPC = 60^{\circ}$。