《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

如图，一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50N,且与小车的位移方向(s的方向)的夹角为60°,则力F做的功为　　　　　　　(　　　)

A.1000J　　　　　　　B.1000$\sqrt{3}$J
C.2000J　　　　　　　D.500J

答案： A

1. 在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h。渡船若要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

答案：
[错解]　渡船要垂直渡过长江，其航向应垂直于岸边，即直行即可。
[正解]　如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度，因为AB + AD = AC，所以四边形ABCD为平行四边形。在Rt△ACD中，∠ACD = 90°，|DC| = |AB| = 12.5，|AD| = 25，所以∠CAD = 30°，即渡船要垂直过长江，其航向应为北偏西30°。

[易错矫正]　错解原因在于忽略了水流速度，因此用向量方法解决渡船在江河中的航向问题，不仅要考虑船的速度，还要考虑水流速度。

2. 如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的南偏东90° - θ（cosθ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$，0°＜θ＜90°）方向并距点O 300km的海面P处，并以20km/h的速度向偏西45°方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大。问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（参考数据：cos(θ - 45°) = $\frac{4}{5}$）

答案： 解:设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ = β - 45°。
∵OQ = OP + PQ，
∴OQ² = (OP + PQ)² = OP² + PQ² + 2OP·PQ
= OP² + PQ² - 2|OP||PQ|cos(β - 45°)
= 300² + (20t)² - 2×300×20t×$\frac{4}{5}$ = 100(4t² - 96t + 900)。
依题意得OQ² ≤ (60 + 10t)²，解得12 ≤ t ≤ 24。
因此，12 h后该城市开始受到台风的侵袭。