《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　求下列函数的定义域:
(1)y = $\sqrt{2\sin x - \sqrt{3}}$
(2)y = lg(sin x - $\frac{\sqrt{2}}{2}$) + $\sqrt{1 - 2\cos x}$

答案：
解:
(1)自变量x应满足
2sinx - √3 ≥ 0，即sinx ≥ √3 / 2。
图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即{x|2kπ + π / 3 ≤ x ≤ 2kπ + 2π / 3，k ∈ Z}。
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
{1 - 2cosx ≥ 0，即cosx ≤ 1 / 2；
{sinx - √2 / 2 ＞ 0，即sinx ＞ √2 / 2。
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x|2kπ + π / 3 ＜ x ＜ 2kπ + 3π / 4，k ∈ Z}。

求函数y = $\sqrt{2\sin x + 1}$的定义域.

答案：
解:要使$\sqrt {(2sinx + 1)}$有意义，则必须满足2sinx + 1 ≥ 0，即sinx ≥ - 1 / 2，
 结合单位圆，知x的取值范围是[- π / 6 + 2kπ，7π / 6 + 2kπ]，k ∈ Z。

(1)求下列函数的单调区间:
①y = sin x，x∈[ - $\frac{\pi}{6}$，$\frac{5\pi}{6}$]；
②y = cos x，x∈( - $\frac{\pi}{2}$，$\frac{3\pi}{2}$).

答案： 结合单位圆易知
①y = sinx在区间[- π / 6，π / 2]上单调递增，在区间[π / 2，5π / 6]上单调递减。
②y = cosx在区间(- π / 2，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，3π / 2)上单调递增。

(2)求下列函数的值域:
①y = sin x，x∈[ - $\frac{\pi}{3}$，$\frac{5\pi}{6}$]；
②y = - 2cos x，x∈( $\frac{\pi}{6}$，$\frac{4\pi}{3}$).

答案： ①函数y = sinx在区间[- π / 3，π / 2]上单调递增，在区间[π / 2，5π / 6]上单调递减，又sin(π / 2) = 1，sin(- π / 3) = - √3 / 2，sin(5π / 6) = 1 / 2，故函数的值域为[- √3 / 2，1]。
②函数y = cosx在区间(π / 6，π]上单调递减，在区间[π，4π / 3)上单调递增。又cosπ = - 1，cos(π / 6) = √3 / 2，cos(4π / 3) = - 1 / 2，
故函数y = cosx的值域为[- 1，√3 / 2)。
所以函数y = - 2cosx的值域为[- √3，2]。