《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　在△ABC中，已知BC = 12，A = 60°，B = 45°，则AC = __________.

答案： $4\sqrt 6$

1. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)。要测算A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC = 50m，∠ABC = 105°，∠BCA = 45°，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A. 50$\sqrt{2}$m
B. 50$\sqrt{3}$m
C. 25$\sqrt{2}$m
D. $\frac{25\sqrt{2}}{2}$m

答案： A

2. 在△ABC中，AB = $\sqrt{6}$，A = 75°，B = 45°，则AC = ________.

答案： 2

[典例2]　在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，△ABC的面积S满足4$\sqrt{3}$S = b² + c² - a²，若a = 4，则△ABC外接圆的面积为________.

答案： 16π

1. 已知△ABC中，∠A = 60°，BC = $\sqrt{3}$，则△ABC的外接圆半径为________.

答案： 1

2. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a = 4，b = 5，c = 6，则该三角形内切圆半径与外接圆半径的积为________.

答案： 4

[典例3]　如图，在△ABC中，在AB边上取一点D，使得△ADC为以D为顶角的等腰三角形，已知B = $\frac{π}{4}$，BC = $\sqrt{2}$。若△ABC是锐角三角形，DC = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则角A的大小为________.

答案： 解析:在△BCD中,B = $\frac{π}{4}$,BC = $\sqrt{2}$,DC = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
由正弦定理，得$\frac{BC}{sin∠BDC}$ = $\frac{CD}{sinB}$,
即$\frac{\sqrt{2}}{sin∠BDC}$ = $\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{sin\frac{π}{4}}$，
解得sin∠BDC = $\sqrt{2}$×$\frac{sin\frac{π}{4}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ = $\sqrt{2}$×$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
所以∠BDC = $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$。
因为△ABC是锐角三角形，所以∠BDC = $\frac{2π}{3}$。
又DA = DC，所以A = $\frac{π}{3}$。
答案:$\frac{π}{3}$

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A = 45°，a = $\sqrt{2}$，b = $\sqrt{3}$，则C等于(　　)
A. 60°
B. 75°
C. 60°或120°
D. 15°或75°

答案： D