《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 已知$|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 3$，$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$60^{\circ}$，$\vec{c} = 5\vec{a} + 3\vec{b}$，$\vec{d} = 3\vec{a} + k\vec{b}$，求满足下列条件的$k$的值。
(1)$\vec{c}//\vec{d}$；
(2)$\vec{c}\perp\vec{d}$。

答案： 解:
(1)若$\vec{c}//\vec{d}$，则存在实数$t$，使$\vec{d} = t\vec{c}$，
即$3\vec{a} + k\vec{b} = 5t\vec{a} + 3t\vec{b}$，则$\begin{cases}5t = 3\\k = 3t\end{cases}$，解得$k = \frac{9}{5}$。
(2)若$\vec{c}\perp\vec{d}$，则$\vec{c}\cdot\vec{d}=(5\vec{a} + 3\vec{b})\cdot(3\vec{a} + k\vec{b})=15|\vec{a}|^2 + 3k|\vec{b}|^2 + (5k + 9)\vec{a}\cdot\vec{b} = 15×4 + 3k×9 + (5k + 9)×2×3×\frac{1}{2} = 0$，解得$k = -\frac{29}{14}$

3. 已知向量$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角为$45^{\circ}$，且$|\vec{a}| = 1$，$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$，求$|\vec{b}|$。

答案： 解:因为$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$，所以$(2\vec{a} + \vec{b})^2 = 10$，
所以$4\vec{a}^2 + 4\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2 = 10$。
又因为向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$45^{\circ}$，且$|\vec{a}| = 1$，
所以$4×1^2 + 4×1×|\vec{b}|×\cos45^{\circ} + |\vec{b}|^2 = 10$。
整理，得$|\vec{b}|^2 + 2\sqrt{2}|\vec{b}| - 6 = 0$，
解得$|\vec{b}| = \sqrt{2}$或$|\vec{b}| = -3\sqrt{2}$(舍去)。
综上，$|\vec{b}| = \sqrt{2}$

1. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = 3，AC = 2。若BD = 2DC，AE = λAC - AB（λ∈R），且AD·AE = -4，则λ = ________。

答案： $\frac{3}{11}$

2. 设作用于同一点的三个力F₁，F₂，F₃处于平衡状态，若|F₁| = 1，|F₂| = 2，且F₁与F₂的夹角为$\frac{2}{3}$π，如图所示。
　(1) 求F₁在F₂方向上的投影数量；
　(2) 求F₂·F₃。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 由题意知$|F_1| = 1$，$|F_2| = 2$，且$F_1$与$F_2$的夹角为$\frac{2}{3}\pi$，所以$F_2$在$F_1$方向上的投影数量为$|F_2|\cos\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$。
(2) 因为$F_3 = -(F_1 + F_2)$，所以$F_3\cdot F_1 = -F_1\cdot F_2 - F_1\cdot F_1 = -1\times2\times(-\frac{1}{2}) - 1^2 = -3$，即$F_3\cdot F_1 = -3$。

3. 已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b| = |a||b|sinθ。若|u| = 2，|u + v| = 2$\sqrt{3}$，(u + v)·u = 6，则|u×(u + v)|的值为________。

答案： $2\sqrt{3}$