《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)设z = i(2 + i),则z等于(　　)
A.1 + 2i
B. - 1 + 2i
C.1 - 2i
D. - 1 - 2i

答案： D

1.(2023·新课标II卷)在复平面内，(1 + 3i)(3 - i)对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

2.下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i(1 + i)²
B.i²(1 - i)
C.(1 + i)²
D.i(1 + i)

答案： C

[典例2]　已知1 + i是方程x² + bx + c = 0 的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断1 - i是不是方程的根.

答案： 解:
(1)
∵1+i是方程x²+bx+c=0的根,
∴(1+i)²+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.
∴$\begin{cases}b+c=0\\2+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-2\\c=2\end{cases}$.
(2)将方程化为x²−2x+2=0,把1−i代入方程左边,得
　x²−2x+2=(1−i)²−2(1−i)+2=0,显然方程成立,
∴1−i也是方程的一个根.

在复数范围内解下列方程:
(1)x² + 5 = 0;
(2)x² + 4x + 6 = 0.

答案： 解:
(1)因为x²+5=0,所以x²=-5.又因为($\sqrt{5}$i)²=(-$\sqrt{5}$i)²=-5,所以x=±$\sqrt{5}$i,所以方程x²+5=0的根为±$\sqrt{5}$i.
(2)(法一)因为x²+4x+6=0,所以(x+2)²=-2.
因为($\sqrt{2}$i)²=(-$\sqrt{2}$i)²=-2,所以x+2=$\sqrt{2}$i或x+2=-$\sqrt{2}$i,即x=-2+$\sqrt{2}$i或x=-2-$\sqrt{2}$i,所以方程x²+4x+6=0的根为x=-2±$\sqrt{2}$i.
(法二)由x²+4x+6=0知Δ=4²-4×6=-8＜0,
所以方程x²+4x+6=0无实数根.在复数范围内,
设方程x²+4x+6=0的根为x=a+bi(a,b∈R且b≠0),
则(a+bi)²+4(a+bi)+6=0,
所以a²+2abi-b²+4a+4bi+6=0,
整理得(a²-b²+4a+6)+(2ab+4b)i=0,
所以$\begin{cases}a²-b²+4a+6=0\\2ab+4b=0\end{cases}$
又因为b≠0,所以$\begin{cases}a²-b²+4a+6=0\\2a+4=0\end{cases}$
解得a=-2,b=±$\sqrt{2}$,所以x=-2±$\sqrt{2}$i,
即方程x²+4x+6=0的根为x=-2±$\sqrt{2}$i.

(2)若复数(1 - i)(a + i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.( - ∞,1)
B.( - ∞, - 1)
C.(1,+∞)
D.( - 1,+∞)

答案： B