《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.判断正误:
　(1)若$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \theta$，则向量$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影数量可以记为$|\vec{b}|\cos\theta$.　　　　　　　　(　　　)
　(2)向量$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影数量和向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影数量相等.　　　　　　　(　　　)
　(3)向量$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上的投影向量与$\vec{a}$是共线向量.　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)√

2.已知向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的夹角为$30^{\circ}$，$|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| =$$\sqrt{3}$，则向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影数量为　(          )　　
A.$1$　　　　B.$\sqrt{2}$　　　C.$\sqrt{3}$　　　D.$2$

答案： C

1.数量积的运算律:
　对任意的向量$a$，$b$，$c$和实数$\lambda$:
　

答案： $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$ $(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}$ $\boldsymbol{a}\cdot(\lambda\boldsymbol{b})$ $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$ 

2.数量积的性质:
(1)若$\vec{e}$是单位向量，则$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=$__________;
(2)若$\vec{a}$，$\vec{b}$是非零向量，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow$________;
(3)$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}$，即$|\vec{a}|=$________;
(4)$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}(|\vec{a}||\vec{b}|\neq0)$;
(5)$|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq$__________，当且仅当$\vec{a}//\vec{b}$时等号成立.

答案：
(1) |a|cos〈a, e〉
(2) a⊥b
(3) $\sqrt{a·a}$
(5) |a||b|

1.判断正误:
　(1)$(\vec{a}\pm\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}\pm2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^{2}$.　　　　　(　　　)
　(2)若$\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$为标准正交基，则$\vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}=1$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　(3)若$\langle\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\rangle = 90^{\circ}$，则$\vec{e}_{1}\cdot\vec{e}_{2}=0$.　　　(　　　)
　(4)$(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$.　　　　　　(　　　)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)√
(4)√

2.已知向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 4$，且$\vec{a}\cdot\vec{b}=2$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角$\theta$为　　　　　　　　(　　　)　
A.$\frac{\pi}{6}$　　　　　　　　　B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$　　　　　　　　　　D.$\frac{\pi}{2}$

答案： C

(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=$（　　）
A.$\sqrt{5}$　　　　　　　　B.3
C.$2\sqrt{5}$　　　　　　　D.5

答案： B

(2)已知向量$\vec{a}$与$\vec{b}$满足$|\vec{a}| = 10$，$|\vec{b}| = 3$，且向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$120^{\circ}$。求：
①$(\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b})$；
②$(2\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b})$。

答案： 解:①$(\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b})=\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 100 - 9 = 91$.
②因为$|\vec{a}| = 10$，$|\vec{b}| = 3$，且向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$120^{\circ}$，
所以$\vec{a}\cdot\vec{b} = 10×3×\cos120^{\circ} = -15$，
所以$(2\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b})=2\vec{a}^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{b}^2 = 200 + 15 - 9 = 206$.