《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[例1]　(1)若sin(π + α) = $\frac{3}{5}$，且α是第三象限角，则$\frac{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$等于(　　)
A.1　　
B.7　　
C. - 7　　
D. - 1

答案： B

(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα, 3)，则cosα等于(　　)
A.$\frac{1}{2}$　　
B. - $\frac{1}{2}$　
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　
D. - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： A

(3)角α的终边上存在一点P( - $\frac{4}{5m}$,$\frac{3}{5m}$)，且$\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}$＜0，求sinα + cosα的值。

答案： 解:由点P的坐标知，点P在第二或第四象限;由$\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}＜0$知，$\alpha$是第三或第四象限角，故角$\alpha$是第四象限角，所以$m＜0$。
P到原点的距离$r = \sqrt{25m^{2}+\frac{9}{25m^{2}}}=-\frac{1}{m}$。
所以$\sin\alpha=\frac{\frac{3}{5m}}{-\frac{1}{m}}=-\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=\frac{-\frac{4}{5m}}{-\frac{1}{m}}=\frac{4}{5}$。
所以$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。

1. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y = x对称，若sinα = $\frac{4}{5}$，则cosβ = (　　)
A. - $\frac{4}{5}$　　　　　　　
B.$\frac{4}{5}$
C. - $\frac{3}{5}$　　　　　　　
D.$\frac{3}{5}$

答案： B

2. 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P, Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP = $\frac{\pi}{6}$，∠AOQ = α，α∈[0, π)。

(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tanθ, cosθ, sinθ。
(2)若已知Q($\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$)，试求tanα, cosα, sinα。

答案： 解:
(1)
∵角$\theta$的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且$P(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，故$\theta$的终边与单位圆交于点$P'(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。
则$\tan\theta=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\theta=-\frac{1}{2}$。
(2)
∵$\angle AOQ = \alpha$且$Q(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$。
∴$\tan\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$，$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin\alpha=\frac{4}{5}$。