《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知向量a = (1，1)，b = (2，x)，若a + b与4b - 2a平行，则实数x的值为________。

答案： 解析:(法一)因为a=(1,1),b=(2,x),
　所以a + b=(3,x + 1),
　4b - 2a=(8 - 2,4x - 2)=(6,4x - 2).由a + b与4b - 2a平行,
　得3(4x - 2) - 6(x + 1)=0,解得x = 2.
　(法二)由于a + b与4b - 2a平行,
　故存在实数λ,使a + b = λ(4b - 2a),
　即(1 + 2λ)a=(4λ - 1)b.根据向量共线的条件知,向量a与b共线,故1×x - 1×2 = 0,解得x = 2.
　答案:2

2. 已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，-3)。判断AB与CD是否共线。如果共线，它们的方向相同还是相反？

答案： 解:AB=(0,4) - (2,1)=(-2,3),
　CD=(5, - 3) - (1,3)=(4, - 6),
∵(-2)×(-6) - 3×4 = 0,
∴AB,CD共线.又CD = - 2AB,
∴AB,CD方向相反.
　综上,AB与CD共线且方向相反.

1. 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}$（$\lambda\in R$），试求当点P在第三象限时，$\lambda$的取值范围。
解：由已知得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}=(5 - 2,4 - 3)+\lambda(7 - 2,10 - 3)=(3,1)+\lambda(5,7)=(3 + 5\lambda,1 + 7\lambda)$，又点P在第三象限，所以$\begin{cases}3 + 5\lambda\lt0\\1 + 7\lambda\lt0\end{cases}$，所以$\lambda\lt-\frac{3}{5}$。
故$\lambda$的取值范围为$(-\infty,-\frac{3}{5})$。
上面的解法是否有误？若有误，指出错在哪里，并写出正确的解题过程。

答案： 提示:以上解法是错误的，错在误把向量AP的坐标当作P点的坐标，混淆了点的坐标与向量坐标的概念。事实上，向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的起点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的。
正解如下:
同错解得AP=(3 + 5λ, 1 + 7λ)。
设点P(x, y)，则AP=(x - 2, y - 3)。
于是(x - 2, y - 3)=(3 + 5λ, 1 + 7λ)，
即$\begin{cases}x - 2 = 3 + 5λ \\ y - 3 = 1 + 7λ\end{cases}$。
因为点P在第三象限，
所以$\begin{cases}x = 5 + 5λ ＜ 0 \\ y = 4 + 7λ ＜ 0\end{cases}$，
解得λ ＜ -1。
所以λ的取值范围为(-∞, -1)。

2. 已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF:FC = 2:1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积。
[析题建模]

答案：
解:以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示。

所以A(0, 0)，B(6, 0)，C(6, 6)，D(0, 6)，F(6, 4)，E(3, 0)。
设P(x, y)，则AP=(x, y)，AF=(6, 4)，EP=(x - 3, y)，EC=(3, 6)。
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得$\begin{cases}4x - 6y = 0 \\ 6(x - 3) - 3y = 0\end{cases}$，
所以$\begin{cases}x = \frac{9}{2} \\ y = 3\end{cases}$。
所以S四边形APDC = S正方形ABCD - S△AEP - S△CEB = 36 - $\frac{1}{2}$×3×3 - $\frac{1}{2}$×3×6 = $\frac{45}{2}$。

3. 已知向量$a=(1,2)$，$b=(-2,1)$，k，t为正实数，$x=a+(t^{2}+1)b$，$y=-\frac{1}{k}a+\frac{1}{t}b$，问：是否存在实数k，t，使$x//y$？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案： 解:因为x = a + (t² + 1)b = (1, 2) + (t² + 1)(-2, 1) = (-2t² - 1, t² + 3)，
y = -ka + $\frac{1}{t}$b = -k(1, 2) + $\frac{1}{t}$(-2, 1) = (-k - $\frac{2}{t}$, $\frac{1}{t}$ - 2k)。
假设存在正实数k，t使x//y，
则(-2t² - 1)($\frac{1}{t}$ - 2k) - (t² + 3)(-k - $\frac{2}{t}$) = 0，
化简得$\frac{t² + 1}{k}$ + $\frac{1}{t}$ = 0，即t + t³ + k = 0。
因为k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，所以不存在这样的正实数k，t，使x//y。