《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. (2023.新课标II卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为$\sqrt{3}$,D为BC的中点,且AD = 1.
　(1)若∠ADC = $\frac{π}{3}$,求tanB;
　(2)若b² + c² = 8,求b,c.

答案： 解:
(1)因为D为BC的中点,所以S△ABC=2S△ADC=2×$\frac{1}{2}$×AD×DCsin∠ADC=2×$\frac{1}{2}$×1×DC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,解得DC=2,所以BD=DC=2,a=4.因为∠ADC=$\frac{π}{3}$,所以∠ADB=$\frac{2π}{3}$.在△ABD中，由余弦定理，得$c^{2}$=AD²+BD²−2AD·BDcos∠ADB=1 + 4 + 2 = 7,所以c=$\sqrt{7}$;在△ABD中,由正弦定理，得$\frac{c}{sin∠ADB}$=$\frac{AD}{sinB}$,所以sinB=$\frac{ADsin∠ADB}{c}$=$\frac{1\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,所以cosB=$\sqrt{1 - sin^{2}B}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$.所以tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$.
(2)因为D为BC的中点,所以BC = 2BD,在△ABD与△ABC中,由余弦定理，得cosB=$\frac{c^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2c\cdot BD}$=$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$,整理,得2BD²=b² + c² - 2 = 6,得BD=$\sqrt{3}$,所以a = 2$\sqrt{3}$在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC=$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$=$\frac{8 - 12}{2bc}$= - $\frac{2}{bc}$,所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin∠BAC=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1 - cos^{2}∠BAC}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1 - (-\frac{2}{bc})^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{b^{2}c^{2}-4}$=$\sqrt{3}$,解得bc = 4.则由$\begin{cases}bc = 4\\b^{2}+c^{2}=8\end{cases}$解得b = c = 2.

2. 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距anmile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的$\sqrt{3}$倍，问:甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多远？

答案：
解:如图,设两船在C处相遇，并设∠CAB = θ,乙船行驶距离BC为x n mile,则AC = $\sqrt{3}$x, 由正弦定理,得sinθ=$\frac{BC\cdot sin120°}{AC}$=$\frac{x\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}x}$=$\frac{1}{2}$,而0＜θ＜60°,
∴θ = 30°,
∴∠ACB = 30°,BC = AB = a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.

解三角形:
在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如已知3个(至少含________),那么由__________________，就可以求得其他3个元素.

答案： 一边长 余弦定理 正弦定理 180° 正弦定理 余弦定理 余弦定理 余弦定理 180° 正弦定理 两解、一解 无解 180° 

1.判断正误:
(1)在三角形的三条边和三个角这6个元素中，只要知道3个元素，就能解出另3个元素.　　(　　　)
(2)已知两条边和其中一边对角这3个元素，一定能解出另3个元素.　　　　　　　(　　　)
(3)用余弦定理和正弦定理结合三角形内角和等于180°,可解决三角形中的大量计算问题.(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√