《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. (2023·新课标II卷)已知α为锐角，cosα = $\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$，则sin$\frac{α}{2}$ =　　　　　　　　　　　(　　　)　
A. $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$　　　　　B. $\frac{-1 + \sqrt{5}}{8}$
C. $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$　　　　　　D. $\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

答案： D

2. 已知α为钝角，β为锐角，且sinα = $\frac{4}{5}$，sinβ = $\frac{12}{13}$，则cos$\frac{α}{2}$ = ________。

答案： $\frac{7\sqrt{65}}{65}$

[典例2]　化简：cos²(θ + 15°) + cos²(θ - 15°) - $\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ = ________。

答案： 1

1. 若将例题中式子改为sin²(θ + 15°) + sin²(θ - 15°) + $\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ，如何化简？

答案： 解:原式=$\frac{1 - cos(2θ + 30°)}{2}$+$\frac{1 - cos(2θ - 30°)}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ
　=1−$\frac{1}{2}$[cos(2θ + 30°)+cos(2θ - 30°)]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ
　=1−$\frac{1}{2}$(2cos2θ·cos30°)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ
　=1−$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ=1.

2. 求证：$\frac{cos²α}{\frac {1}{ tan\frac{α}{2}}-{tan\frac{α}{2}}} = \frac{1}{4}sin2α$。

答案： 证明:(法一)用正弦、余弦公式
　左边=$\frac{cos²\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}} - \frac{sin²\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}$
　=$\frac{cos²\frac{α}{2}-sin²\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}$=$\frac{cosα}{ \frac{1}{2}sinα}$
　=2$\frac{cosα}{sinα}$cos$\frac{α}{2}$sin$\frac{α}{2}$=sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α=右边,
　所以原等式成立.
　(法二)用正切公式
　左边=$\frac{1}{2}$cos2α·$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1 - tan²\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{2}$cos2α·tanα
　=$\frac{1}{2}$cosαsinα=$\frac{1}{4}$sin2α=右边，
　所以原等式成立.