《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(2)在同一坐标系中,作函数y = sinx和y = lgx的图象,根据图象判断出方程sinx = lgx的解的个数.

答案： 解:建立平面直角坐标系xOy，先用“五点(画图)法”画出函数y = sinx，x∈R的图象。
描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y = lgx的图象，如图所示。由图象可知方程sinx = lgx的解有3个。

1. 若函数f(x) = sinx + 2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y = k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________.

答案： (1，3)

(1)函数y = $\sqrt{2sinx - 1}$的定义域为________.
2. [变条件]本例(1)中函数改为“y = lg(sinx - $\frac{1}{2}$)+ $\sqrt{3 - 2sinx}$”,应如何解答？

答案：
{x|$\frac{π}{6}$ + 2kπ ≤ x ≤ $\frac{5π}{6}$ + 2kπ，k∈Z}
@@解:要使原函数解析式有意义，必须满足$\frac{1}{2}$＜sinx ≤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
首先作出y = sinx在[0，2π]上的图象，如图所示。作直线y = $\frac{1}{2}$，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y = sinx，x∈[0，2π]的交点横坐标为$\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$；

作直线y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，该直线与y = sinx，x∈[0，2π]的交点横坐标为$\frac{π}{3}$和$\frac{2π}{3}$。
观察图象可知，在[0，2π]上，当$\frac{π}{6}$＜x ≤ $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ ≤ x＜$\frac{5π}{6}$时，不等式$\frac{1}{2}$＜sinx ≤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$成立，所以$\frac{1}{2}$＜sinx ≤ $\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为
{x|$\frac{π}{6}$ + 2kπ＜x ≤ $\frac{π}{3}$ + 2kπ或$\frac{2π}{3}$ + 2kπ ≤ x＜$\frac{5π}{6}$ + 2kπ，k∈Z}。

1. 用“五点(画图)法”作出函数y = 1 - 2sinx，x∈[-π, π]的简图，并回答下列问题:
(1) 观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间。①y＞1；②y＜1。
(2) 若直线y = a与y = 1 - 2sinx，x∈[-π, π]的图象有两个交点，求a的取值范围。

答案：
解:列表如下:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图;

(1)由图象可知，图象在直线y = 1上方部分时y＞1，在直线y = 1下方部分时y＜1。所以①当x∈(−π,0)时，y＞1；
②当x∈(0,π)时，y＜1。
(2)如图所示，当直线y = a与y = 1 - 2sinx，x∈[−π,π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或−1＜a＜1，
所以a的取值范围是(−1,1)∪(1,3)。

2. 结合函数f(x) = sin|x| + |sinx|的图象，你能得到哪些结论？(答案不唯一)

答案：
解:作出函数f(x)的图象如图中粗实线所示:

由图象可以得到:
①奇偶性:f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|
=sin|x|+|sinx|=f(x)，
则函数f(x)是偶函数。
②图象的对称性:函数图象关于y轴对称。
③单调性:当x∈(−$\frac{π}{2}$,0)时，
sin|x|=−sinx，|sinx|=−sinx，
则f(x)=−sinx−sinx=−2sinx单调递减；
当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，
则f(x)=sinx+sinx=2sinx单调递增。
④当sin|x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，
当x = kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值0。
⑤函数的值域为[0,2]。
⑥f(x)在[−π,π]上有3个零点。
当0≤x≤π时，f(x)=sin|x|+|sinx|
=sinx+sinx=2sinx，
由f(x)=0得2sinx=0，得x = 0或x = π，
由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x = −π，
即函数f(x)在[−π,π]上有3个零点。
若g(x)=a，则f(x) - g(x)=0有根的条件为0≤a≤2。等等(任选几个写出即可)。