《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC = 120°,则A,C两地间的距离为　　　　　　　　　(　　　)
A.10km　　　　　　　　　　B.10$\sqrt{3}$km
C.10$\sqrt{5}$km　　　　　　　　　D.10$\sqrt{7}$km

答案： D

3.下图中的两个方向，用方位角应表示为________(图①)与________(图②).

答案： 60°、210°

4.在某测量中,设A在B的南偏东34°27',则B 在A的北偏西________.

答案： 34°27′

[典例1]　如图,在平面四边形ABCD中,已知A = $\frac{π}{2}$, B = $\frac{2π}{3}$, AB = 6. 在AB边上取点E,使得BE = 1,连接EC,ED. 若∠CED = $\frac{2π}{3}$, CE = $\sqrt{7}$.

(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.

答案： 解:
(1)在△BEC中,由正弦定理知,
$\frac{BE}{\sin\angle BCE}=\frac{CE}{\sin B}$，因为$B = \frac{2\pi}{3}$，$BE = 1$，$CE = \sqrt{7}$，
所以$\sin\angle BCE = \frac{BE\sin B}{CE}=\frac{1\times\sin\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
(2)因为$\angle CED = B = \frac{2\pi}{3}$，所以$\angle DEA = \angle BCE$，
所以$\cos\angle DEA = \sqrt{1 - \sin^{2}\angle DEA}=\sqrt{1 - \sin^{2}\angle BCE}=\sqrt{1 - \frac{3}{28}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$。因为$A = \frac{\pi}{2}$，所以$\triangle AED$为直角三角形。
又$AE = 5$，所以$ED = \frac{AE}{\cos\angle DEA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{14}} = 2\sqrt{7}$。
在$\triangle CED$中，$CD^{2} = CE^{2} + DE^{2} - 2CE\cdot DE\cdot\cos\angle CED = 7 + 28 - 2\times\sqrt{7}\times2\sqrt{7}\times(-\frac{1}{2}) = 49$。所以$CD = 7$。

如图,在△ABC中,∠BAC =  $\frac{3π}{4}$, AB = 6, AC = 3$\sqrt{2}$, 点D在BC边上, AD = BD.

(1)求BC的长度及sinB的值;
(2)求AD的长度及△ADC的面积.

答案： 解:
(1)在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得
$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2} - 2AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC}=\sqrt{36 + 18 - 2\times6\times3\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})}=3\sqrt{10}$。
在$\triangle ABC$中，由正弦定理，得$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin\angle BAC}$，
则$\sin B = \frac{AC\sin\angle BAC}{BC}=\frac{3\sqrt{2}\times\sin\frac{3\pi}{4}}{3\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2)因为$B\in(0,\frac{\pi}{4})$，所以$\cos B = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，
记$AD = BD = x$，在$\triangle ABD$中，由余弦定理的推论，得
$\cos B = \frac{AB^{2} + x^{2} - x^{2}}{12x}=\frac{36}{12x}=\frac{3}{x}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，解得$x = \sqrt{10}$，即$AD = \sqrt{10}$。
则$S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot(BC - BD)\sin B=\frac{1}{2}\times6\times2\sqrt{10}\times\frac{\sqrt{10}}{10}=6$。