《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例2]　某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图)),它们相距5(3 + $\sqrt{3}$) nmile. 现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°,B点北偏西60°,这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20$\sqrt{3}$nmile的C点有一救援船，其航行速度为30nmile/h. (注:sin105° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$)

(1)求B点到D点的距离BD;
(2)若命令C点的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.

答案： 解:
(1)由题意知$AB = 5(3 + \sqrt{3})\text{nmile}$，
$\angle DBA = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\angle DAB = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，
所以$\angle ADB = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 30^{\circ}) = 105^{\circ}$。
在$\triangle DAB$中，由正弦定理，得$\frac{BD}{\sin\angle DAB}=\frac{AB}{\sin\angle ADB}$，
所以$BD = \frac{AB\sin\angle DAB}{\sin\angle ADB}=\frac{5(3 + \sqrt{3})\sin45^{\circ}}{\sin105^{\circ}}=\frac{5(3 + \sqrt{3})\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{5\sqrt{2}(3 + \sqrt{3})\times2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}(3 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{10(3 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}+1}=\frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1}=10\sqrt{3}(\text{nmile})$。
(2)在$\triangle DBC$中，$\angle DBC = \angle DBA + \angle ABC = 30^{\circ} + (90^{\circ} - 60^{\circ}) = 60^{\circ}$，$BC = 20\sqrt{3}(\text{nmile})$，由余弦定理，得
$CD^{2} = BD^{2} + BC^{2} - 2BD\cdot BC\cdot\cos\angle DBC = 300 + 1200 - 2\times10\sqrt{3}\times20\sqrt{3}\times\frac{1}{2} = 900$，
所以$CD = 30(\text{nmile})$，则需要的时间$t = \frac{30}{30} = 1(\text{h})$。
即救援船到达$D$点需要$1\text{h}$。

1. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°，此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,$\sqrt{3}$≈1.73)

答案： 60

2. 为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为______m.

答案： $600\sqrt 2$