《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例4]　如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD 上分别取E,F,G,H四点，如果EF,GH交于点P。求证:点P在直线BD上。

答案： 证明:若EF,GH交于一点P,
则E,F,G,H四点共面.
又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
平面ABD∩平面CBD = BD,
所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,由基本事实3可得P∈BD.

1.已知△ABC在平面α外,AB∩α = P,AC∩α = R,BC∩α = Q, 如图。求证:P,Q,R三点共线。

答案： 证明:
∵AB∩α = P,
∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,
∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3,得点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.

2.求证:三棱台A₁B₁C₁ - ABC三条侧棱延长后相交于一点。

答案：
证明:如图,延长AA1,BB1.设AA1∩BB1 = P.又BB1⊂平面BC,
∴P∈平面BC.　　　　
又AA1⊂平面AC1,
∴P∈平面AC1.
∴P为平面BC和平面AC1的公共点.又
∵平面BC∩平面AC1 = CC1,
∴P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.

1. 如图所示，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在棱AB，AA₁上，其中ED₁∩CF = O，D₁F，CE不平行。
　　　　　　　　　　　　　　
求证: (1) E，F，C，D₁四点共面;
(2) CE，DF，DA三线交于一点。

答案：
证明:
(1)因为ED₁∩CF=O,
所以直线ED₁,CF确定一个平面α.
所以直线ED₁⊂α,直线CF⊂α.
又因为E∈直线ED₁,D₁∈直线ED₁,C∈直线CF,F∈直线CF,所以E∈平面α,D₁∈平面α,C∈平面α,F∈平面α,
所以E,F,C,D₁四点共面.
(2)如图,连接FE.

由
(1)知,E,F,C,D₁四点共面,
又因为D₁F,CE不平行,
所以D₁F与CE相交，设交点为P.
又因为D₁F⊂平面A₁D₁DA,CE⊂平面ABCD,
所以P为平面A₁D₁DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A₁D₁DA∩平面ABCD = DA,
根据基本事实3,可得P∈DA,即CE,D₁F,DA相交于一点.