《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. (2024.新课标I卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC = $\sqrt{2}$cosB,且a² + b² - c² = $\sqrt{2}$ab.
　(1)求B;
　(2)若△ABC的面积为3 + $\sqrt{3}$,求c.

答案： 解：
(1)在△ABC中，a² + b² - c² = $\sqrt{2}$ab。
由余弦定理可知，cosC = $\frac{a² + b² - c²}{2ab}$ = $\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为C∈(0, π)，所以C = $\frac{π}{4}$。
因为sinC = $\sqrt{2}$cosB，所以cosB = $\frac{sinC}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}$。
又B∈(0, π)，所以B = $\frac{π}{3}$。
(2)由
(1)可得B = $\frac{π}{3}$，C = $\frac{π}{4}$，则A = π - $\frac{π}{3}$ - $\frac{π}{4}$ = $\frac{5π}{12}$，sinA = sin$\frac{5π}{12}$ = sin($\frac{π}{4}$ + $\frac{π}{6}$) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。
由正弦定理，得$\frac{a}{sin\frac{5π}{12}}$ = $\frac{b}{sin\frac{π}{3}}$ = $\frac{c}{sin\frac{π}{4}}$。
从而a = $\frac{sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{4}}$c = $\frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$c = $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$c，
b = $\frac{sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$c = $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$c = $\frac{\sqrt{6}}{2}$c。
由三角形面积公式可知，S△ABC = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$c×$\frac{\sqrt{6}}{2}$c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{3 + \sqrt{3}}{8}$c²。
由已知△ABC的面积为3 + $\sqrt{3}$，可得$\frac{3 + \sqrt{3}}{8}$c² = 3 + $\sqrt{3}$，所以c = 2$\sqrt{2}$。

2. 如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD = 45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，作AE⊥CD于点E。
因为AB//CD，AB = 9m，CD = 15m，
所以DE = 9m，EC = 6m。
设AE = x，∠CAE = α。
因为∠CAD = 45°，所以∠DAE = 45° - α。
在Rt△AEC和Rt△AED中，有tanα = $\frac{6}{x}$，tan(45° - α) = $\frac{9}{x}$。
因为tan(45° - α) = $\frac{1 - tanα}{1 + tanα}$，所以$\frac{9}{x}$ = $\frac{1 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{6}{x}}$。
化简，得x² - 15x - 54 = 0，解得x = 18，x = -3(舍去)。
答：两座建筑物之间的距离BD等于18m。

3. 如图，在△ABC中,∠B为直角，DE⊥AB于点E,AC⊥DC,已知BC = 1.
　　　　　　　　　　　　
　(1)若∠BAC = 30°,∠DAC = 45°,试求△ADE各边的长度，由此推出75°的三角函数值.
　(2)设∠BAC = α,∠DAC = β(α,β,α + β均为锐角),试由图推出sin(α + β)的公式.

答案：
解：
(1)由C向DE作垂线，垂足为F，则CF = BE，∠CAB = ∠FCA = 30°，
∴∠FCD = 60°，∠DAE = 75°。
根据题意得AC = 2BC = 2 = CD，
AD = 2$\sqrt{2}$，AB = $\sqrt{3}$，
∴BE = CF = $\frac{1}{2}$CD = 1，AE = $\sqrt{3}$ - 1，
DE = $\sqrt{AD² - AE²}$ = $\sqrt{8 - (\sqrt{3} - 1)²}$ = $\sqrt{3}$ + 1，
∴sin75° = $\frac{DE}{AD}$ = $\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，
cos75° = $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，
tan75° = $\frac{DE}{AE}$ = $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ = 2 + $\sqrt{3}$。
(2)由C向DE作垂线，垂足为F，则CF = BE，∠CAB = ∠FCA，$\frac{AC}{AD}$ = cosβ，
则AC = $\frac{1}{sinα}$，$\frac{DC}{AC}$ = tanβ，AD = $\frac{1}{sinαcosβ}$。
∴CD = AC·tanβ = $\frac{tanβ}{sinα}$，DF = cosα·DC = $\frac{cosαtanβ}{sinα}$，
∴DE = BC + DF = 1 + $\frac{cosαtanβ}{sinα}$。
∴sin(α + β) = sin∠DAE = $\frac{DE}{AD}$ = (1 + $\frac{cosαtanβ}{sinα}$)÷$\frac{1}{sinαcosβ}$ = sinαcosβ + cosαsinβ。