《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1) (2023·全国甲卷)函数$y = f(x)$的图象由函数$y = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到，则$y = f(x)$的图象与直线$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$的交点个数为(　　)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

(2) 函数$f(x)=A\sin(\omega x + \varphi)$（$A$，$\omega$，$\varphi$为常数，$A＞0$，$\omega＞0$，$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$）的部分图象如图所示，则$f(0)$的值是________.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{2}$

1. 函数$y = 1 - \sin x$，$x\in[0,2\pi]$的大致图象是(　　)

答案： B

2. 函数$f(x)=A\sin(\omega x + \varphi)$（$A＞0$，$\omega＞0$，$-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}$）的图象如图所示，则$f(1)$等于(　　)

A. $\sqrt{2}$
B. $1 + \sqrt{2}$
C. $2 + \sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： A

3. (2024·新课标I卷)当$x\in[0,2\pi]$时，曲线$y = \sin x$与$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$的交点个数为(　　)
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

答案： C

4. 已知函数$f(x)=A\sin(\omega x + \varphi)$（$A＞0$，$\omega＞0$，$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$）的图象上的一个最低点为$M(\frac{2\pi}{3}, - 2)$，周期为$\pi$。
(1) 求$f(x)$的解析式；
(2) 将$y = f(x)$的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿$x$轴向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，得到函数$y = g(x)$的图象，写出函数$y = g(x)$的解析式；
(3) 当$x\in[0,\frac{\pi}{12}]$时，求函数$f(x)$的最大值和最小值。

答案： 解:
(1)
∵$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi$，
∴$\omega = 2$。又$f(x)_{min} = -2$，
∴$A = 2$。
∵$f(x)$的最低点为$M(\frac{2\pi}{3}, -2)$，
∴$\sin(\frac{4\pi}{3} + \varphi) = -1$。
∵$\frac{\pi}{2} ＜ \varphi ＜ \pi$，
∴$\frac{4\pi}{3} ＜ \frac{4\pi}{3} + \varphi ＜ \frac{11\pi}{6}$。
∴$\frac{4\pi}{3} + \varphi = \frac{3\pi}{2}$，
∴$\varphi = \frac{\pi}{6}$，
∴$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$。
(2)$y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$$\xrightarrow{横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)}$
$y = 2\sin(\frac{1}{2}×2x + \frac{\pi}{6}) = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})$
$\xrightarrow{沿x轴向右平移\frac{\pi}{6}个单位长度}$$y = 2\sin((x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = 2\sin x$
∴$y = g(x) = 2\sin x$。
(3)
∵$0\leq x\leq\frac{\pi}{12}$，
∴$\frac{\pi}{6}\leq 2x + \frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{3}$。
∴当$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$，即$x = 0$时，$f(x)_{min} = 2\sin\frac{\pi}{6} = 1$；
　当$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$，即$x = \frac{\pi}{12}$时，$f(x)_{max} = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$