《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 若a=(2, -1)，b=(1, -1)，则(a + 2b)·(a - 3b)等于(　　)
A. 10　　　
B. -10　　　
C. 3　　　
D. -3

答案： B

2. 如图，在矩形ABCD中，AB = $\sqrt{2}$，BC = 2，点E为BC的中点，点F在边CD上。若$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AF}$ = $\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BF}$ = _______。

答案： $\sqrt{2}$

[典例2]　(1)已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则|a - b|等于(　　)
A. $\sqrt{2}$　
B. 2　　
C. 5$\sqrt{2}$　
D. 50

答案： A

(2)如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明PA = EF。

答案：
证明:建立如图所示的平面直角坐标系，　设正方形的边长为a,则A(0,α).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设|DP|=A(λ＞0),　则F($\frac{2}{2}$a,0),P(%,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),E(α,$\frac{2}{2}$ax),　所以EF=($\frac{2}{2}$−a,−$\frac{√2}{2}$λ),PA=(−x,α−$\frac{√2}{2}$).　因为|EF|²=x²−　　$\sqrt{2}$aλ+a²,1PA1²=λ²−　　$\sqrt{2}$aλ+a²,　所以|EF|=|PA|,即PA=EF.

1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，AD = 1，BC = 2，P是线段AB上的动点，则|$\overrightarrow{PC}$ + 4$\overrightarrow{PD}$|的最小值为(　　)


A. 3$\sqrt{5}$　　
B. 6　　
C. 2$\sqrt{5}$　　
D. 4

答案： B

2. 已知向量a=(1,2)，b=( -3,4)，c = a + λb (λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________。

答案： $-\frac{1}{5}$

(1)若向量a=(1,2)，b=(1, -1)，则2a + b与a - b的夹角等于(　　)
A. -$\frac{π}{4}$　
B. $\frac{π}{6}$　　
C. $\frac{π}{4}$　　　
D. $\frac{3π}{4}$

答案： C

(2)已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c = a + tb，若＜a,c＞ = ＜b,c＞，则t等于(　　)
A. -6　
B. -5　
C.5　　　
D. 6

答案： C

(3)已知向量a=(3,4)，b=(2, -1)，若向量a + xb与b垂直，则x等于(　　)
A. $\frac{23}{3}$　　
B. $\frac{3}{23}$　　
C. 2　　　
D. -$\frac{2}{5}$

答案： D