《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

在平面直角坐标系中，设$\vec{a}$ = (x₁,y₁),$\vec{b}$ = (x₂,y₂),$\vec{b}$ ≠ 0。向量$\vec{a}$,$\vec{b}$($\vec{b}$ ≠ 0)共线的充要条件是__________________。
[微思考]　两向量$\vec{a}$ = (x₁,y₁),$\vec{b}$ = (x₂,y₂)共线的坐标条件能表示成$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$吗？
　　______________________________

答案： $x_1y_2 - x_2y_1$ = 0
[微思考]
提示:不能，因为当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有$x_2y_1≠0$时，才能使用。

1.判断正误:
　(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线。　(　　　)
　(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向。　(　　　)
　(3)如果x₁y₂ - x₂y₁ = 0,那么向量$\vec{a}$ = (x₁,y₁)与向量$\vec{b}$ = (x₂,y₂)共线。　(　　　)

答案：
(1)√　
(2)√　
(3)√

2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量$\vec{a}$ = (2,λ),若$\vec{a}$ // $\overrightarrow{AB}$,则实数λ的值为(　　　)
　A.-$\frac{2}{3}$　　　　B.$\frac{3}{2}$　　　C.$\frac{2}{3}$　　　D.-$\frac{3}{2}$

答案： C

[典例1]　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A为坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点。
(1)求C，D的坐标；
(2)求向量AB，AC，BC，BD的坐标。

答案：
解:如图，正三角形ABC的边长为2,
　则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)C(1,$\sqrt{3}$),D($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
(2)AB=(2,0),AC=(1,$\sqrt{3}$),BC=(1 - 2,$\sqrt{3}$ - 0)=(-1,$\sqrt{3}$),
BD=($\frac{1}{2}$ - 2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 0)=(-$\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).

1. 如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA = (-1，-1)，则OB = ________，OC = ________，OD = ________。

答案： (1, - 1)　(1,1)　(-1,1)

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA = 4，AB = 3，∠AOx = 45°，∠OAB = 105°，OA = a，AB = b。四边形OABC为平行四边形。求向量a，b的坐标。

答案：
解:如图,作AM⊥x轴于点M,
　则OM = OA·cos45° = 4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2$\sqrt{2}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AM = OA·sin45° = 4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2$\sqrt{2}$
∴A(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$),故a=(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$).
∵∠AOC = 180° - 105° = 75°,∠AOy = 45°,
∴∠COy = 30°.
　又
∵OC = AB = 3,
∴C(-$\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),
∴AB = c = (-$\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),即b = (-$\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$).