《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.

1. [变条件]若在本例中添加条件“AC = BD”,判断四边形EFGH是什么形状.
2. [变条件]若在本例中添加条件“AC = BD且AC⊥BD”,则四边形EFGH是什么形状？

答案： 证明:因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EF//AC,HG//AC,EF=HG=　$\frac{1}{2}$AC.所以EF//HG,EF=HG.所以四边形EFGH是平行四边形
@@解:因为在本例中已经证明四边形EFGH是平行四边形，AC=　BD,所以EH=EF.所以四边形EFGH是菱形.
@@解:因为在本例中已经证明四边形EFGH是平行四边形，AC⊥BD,所以EH⊥EF.又AC=BD,所以EH=EF.所以四边形EFGH是正方形.

3. 如图所示，在正方体ABCD - A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'//FF'.

答案： 证明:因为E,E分别是AB,A'B'的中点,
　所以BE//B'E',且BE=B'E'.
　所以四边形EBB'E'是平行四边形.
　所以EE'//BB'.同理可证FF'//BB'.所以EE//FF".

(1)四面体A - BCD的六条棱所在直线成异面直线的有　　　　　　　　　(　　　)
A. 3对　　B. 4对　　C. 5对　　D. 6对

答案： A