《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是不共线的非零向量，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$，则四边形$ABCD$是(　　)
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 菱形

答案： A

2. 判断向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是否共线(其中$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是两个非零不共线的向量)：
(1)$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{b}=-9\boldsymbol{e}_1$；
(2)$\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_1 - \frac{1}{3}\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2$；
(3)$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2$。

答案： 解:
(1)$\because\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1$,$\boldsymbol{b} = -9\boldsymbol{e}_1$,$\therefore\boldsymbol{b} = -3\boldsymbol{a}$,$\therefore\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$共线。
(2)$\because\boldsymbol{a} = \frac{1}{2}\boldsymbol{e}_1 - \frac{1}{3}\boldsymbol{e}_2$,$\boldsymbol{b} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 = 6(\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_1 - \frac{1}{3}\boldsymbol{e}_2)$,$\therefore\boldsymbol{b} = 6\boldsymbol{a}$,$\therefore\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$共线。
(3)假设$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}(\lambda\in R)$，则$3\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2 = \lambda(\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2)$,$\therefore(3 - \lambda)\boldsymbol{e}_1 + (3 + \lambda)\boldsymbol{e}_2 = 0$。
$\because\boldsymbol{e}_1$,$\boldsymbol{e}_2$不共线,$\therefore\begin{cases}3 - \lambda = 0 \\ 3 + \lambda = 0 \end{cases}$，此方程组无解。
$\therefore$不存在实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$,$\therefore\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$不共线。

[典例2]　已知$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是两个不共线的向量，若$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_1 - 8\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$，求证：$A$，$B$，$D$三点共线。

答案： 证明:$\because\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2$,$\overrightarrow{CD} = 2\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$,$\therefore\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = \boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2$。
又$\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{e}_1 - 8\boldsymbol{e}_2 = 2(\boldsymbol{e}_1 - 4\boldsymbol{e}_2)$,$\therefore\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BD}$。$\therefore\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{BD}$。
$\because\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$有交点$B$,$\therefore A$,$B$,$D$三点共线。

在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，$C$，$P$，$Q$三点满足$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OP}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OQ}$。求证：$C$，$P$，$Q$三点共线。

答案： 证明:因为$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$,$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OQ} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{OP} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OQ}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{PQ}$，故$C$,$P$,$Q$三点共线。

(1)在$\triangle ABC$中，已知$D$是$AB$边上一点，若$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda\overrightarrow{CB}$，则$\lambda =$(　　)
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $-\frac{2}{3}$

答案： A

(2)已知非零向量$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$不共线，欲使$-\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2$和$-2\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$共线，则$k$的值为______。

答案： $\frac{1}{2}$