《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例3]　已知函数f(x) = $\frac{sin2x - cos2x + 1}{2sinx}$。
　　(1)求f(x)的定义域；
　　(2)求f(x)的值域；
　　(3)设α为锐角，且tan$\frac{α}{2}$ = $\frac{1}{2}$，求f(α)的值。

答案： 解:
(1)由sinx≠0得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
(2)f(x)=$\frac{2sinxcosx-(1 - 2sin²x)+1}{2sinx}$
　=$\frac{2sinxcosx + 2sin²x}{2sinx}$=cosx + sinx
　=$\sqrt{2}$sin(x + $\frac{π}{4}$)(x≠kπ,k∈Z).
　又
∵当x = kπ,k∈Z时$\sqrt{2}$sin(x + $\frac{π}{4}$)的值为±1,
∴f(x)的值域为[−$\sqrt{2}$,−1)∪(−1,1)∪(1,$\sqrt{2}$].
(3)令t = tan$\frac{α}{2}$ = $\frac{1}{2}$,则tanα = $\frac{2t}{1 - t²}$ = $\frac{4}{3}$.
∵α为锐角,
∴sinα = $\frac{4}{5}$,cosα = $\frac{3}{5}$,
∴f(α)=sinα + cosα = $\frac{4}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{7}{5}$.

已知函数f(x) = sin²x - cos²x - 2$\sqrt{3}$sinxcosx (x∈R)。
　(1)求f($\frac{2π}{3}$)的值；
　(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间。

答案： 解:
(1)由题意,f(x)=−cos2x−$\sqrt{3}$sin2x
　=−2($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x + $\frac{1}{2}$cos2x)=−2sin(2x + $\frac{π}{6}$),
　故f($\frac{2π}{3}$)=−2sin($\frac{4π}{3}$ + $\frac{π}{6}$)=−2sin$\frac{3π}{2}$ = 2.
(2)由
(1)知f(x)=−2sin(2x + $\frac{π}{6}$),
　则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质
　令$\frac{π}{2}$ + 2kπ ≤ 2x + $\frac{π}{6}$ ≤ $\frac{3π}{2}$ + 2kπ,k∈Z,
解得$\frac{π}{6}$ + kπ ≤ x ≤ $\frac{2π}{3}$ + kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是[$\frac{π}{6}$ + kπ,$\frac{2π}{3}$ + kπ](k∈Z).