《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

设非零向量$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$,a与b 的夹角为θ,则有:

答案： $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ $\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$ $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$ $\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}(|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\neq0)$

[微思考]　已知向量a=(x,y),你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？

答案： 提示:设与$\vec{a}$共线的单位向量为$\vec{e}$，则$\vec{e}$ = ±$\frac{1}{|\vec{a}|}$$\vec{a}$ = ±($\frac{x}{|\vec{a}|}$,$\frac{y}{|\vec{a}|}$) = ±($\frac{x}{\sqrt{x² + y²}}$,$\frac{y}{\sqrt{x² + y²}}$)，其中正号、负号分别表示与$\vec{a}$同向和反向。易知$\vec{b}$ = (-y, x)和$\vec{a}$ = (x, y)垂直，所以与$\vec{a}$垂直的单位向量$\vec{b}$的坐标为±($\frac{-y}{\sqrt{x² + y²}}$,$\frac{x}{\sqrt{x² + y²}}$)，其中正、负号表示不同的方向。

1. 判断正误:
　(1) 两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2 - x2y1 = 0,则向量a,b的夹角为0°.(　　　)
　(2) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b ⇔ x1x2 - y1y2 = 0.　　　　　　　　　　　(　　　)
　(3) 若两个向量的数量积小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.　　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)×

2. 已知$\overrightarrow{MN}$ = (3, - 4),则|$\overrightarrow{MN}$|等于　　　(　　　)　
A. 3　　　　　　　　　B. 4　
C. $\sqrt{5}$　　　　　　　　　D. 5

答案： D

3. 若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)　
A. 12　　　　　　　　　B. 3　
C. - 3　　　　　　　　D. - 12

答案： D

4. 已知a=(3,4),b=(5,12),则a·b = ________,a与b夹角的余弦值为________.

答案： 63；$\frac{63}{65}$

[典例1]　已知a与b同向，b=(1,2)，a·b = 10。
(1)求a的坐标；
(2)若c=(2, -1)，求a·(b·c)及(a·b)·c。

答案： 解:
(1)设a=b=(λ,2λ)(λ＞0),则有a.b=λ+4λ=10,
∴λ=2,
∴a=(2,4).　
(2)
∵b.c=1×2−2×1=0,a.b=10,
∴a.(b.c)=0a=(0,0),(a.b).c=10(2,−1)=(20,−10).