《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE = e, 设t∈R, 如果3a = c, 2b = d, e = t(a + b), 那么t为何值时，C, D, E三点共线？
解: 由题意知, CD = d - c = 2b - 3a, CE = e - c = (t - 3)a + tb. C, D, E三点在一条直线的充要条件是存在实数k, 使得CE = kCD,
即(t - 3)a + tb = - 3ka + 2kb,
整理得(t - 3 + 3k)a = (2k - t)b,
则有$\begin{cases}t - 3 + 3k = 0\\2k - t = 0\end{cases}$, 解得t = $\frac{6}{5}$.
分析以上解题过程是否错误. 若错误，指出错误之处，并给出正确的解题过程.

答案： 提示：以上解析忽视了平面向量基本定理的使用条件，出现了漏解，漏掉了当a,b共线时，t可为任意实数这个解。
正解如下：
由题意知，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\vec{d}-\vec{c}=2\vec{b}-3\vec{a}$，
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=\vec{e}-\vec{c}=t(\vec{a}+\vec{b}) - 3\vec{a}=(t - 3)\vec{a}+t\vec{b}$。
C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，使得$\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CD}$，即$(t - 3)\vec{a}+t\vec{b}=-3k\vec{a}+2k\vec{b}$。
①若$\vec{a}$，$\vec{b}$共线，则t可为任意实数；
②若$\vec{a}$，$\vec{b}$不共线，选择基$(\vec{a},\vec{b})$，由平面向量基本定理，则有$\begin{cases}t - 3 + 3k = 0\\2k - t = 0\end{cases}$，
解得$t = \frac{6}{5}$。
综上可知，当$\vec{a}$，$\vec{b}$共线时，t可为任意实数；当$\vec{a}$，$\vec{b}$不共线时，$t = \frac{6}{5}$。

2. 在平面上给定一个△ABC, 试判断平面上是否存在这样的点P, 使线段AP的中点为M, BM的中点为N, CN的中点为P. 若存在, 这样的点有几个？若不存在，请说明理由.

答案：
解：假设符合要求的点P存在，如图所示，连接AN。
∵M是AP的中点，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$，

∵N是BM的中点，
∴$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。①
又P是CN的中点，
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC})$。②
由①②得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，
即$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$。由平面向量基本定理知，$\overrightarrow{AP}$是唯一存在的，所以符合条件的点P有且只有一个。