《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 若sin($\frac{3π}{4}$ + α) = $\frac{5}{13}$, cos($\frac{π}{4}$ - β) = $\frac{3}{5}$,且0 ＜ α ＜ $\frac{π}{4}$ ＜ β ＜ $\frac{3π}{4}$,求cos(α + β)的值.

答案： 解:
∵ 0 ＜ α ＜ $\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$ ＜ $\frac{3π}{4}$ + α ＜ π， - $\frac{π}{2}$ ＜ $\frac{π}{4}$ - β ＜ 0. 又
∵ sin($\frac{3π}{4}$ + α) = $\frac{5}{13}$，cos($\frac{π}{4}$ - β) = $\frac{3}{5}$，
∴ cos($\frac{3π}{4}$ + α) = - $\frac{12}{13}$，sin($\frac{π}{4}$ - β) = - $\frac{4}{5}$
∴ cos(α + β) = sin[$\frac{π}{2}$ + (α + β)] = sin[($\frac{3π}{4}$ + α) - ($\frac{π}{4}$ - β)] = sin($\frac{3π}{4}$ + α)cos($\frac{π}{4}$ - β) - cos($\frac{3π}{4}$ + α)sin($\frac{π}{4}$ - β)　= $\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$ - (- $\frac{12}{13}$)×(- $\frac{4}{5}$) = - $\frac{33}{65}$

[典例3]　已知α∈(0, $\frac{π}{2}$), β∈(- $\frac{π}{2}$, 0),且cos(α - β) = $\frac{3}{5}$, sinβ = - $\frac{\sqrt{2}}{10}$,则α = ________.

答案： $\frac{π}{4}$

1. 已知A,B都是锐角,且tanA = $\frac{1}{3}$, sinB = $\frac{\sqrt{5}}{5}$,则A + B = ________.

答案： $\frac{π}{4}$

2. 已知cosα = - $\frac{\sqrt{5}}{5}$, tanβ = $\frac{1}{3}$, π ＜ α ＜ $\frac{3π}{2}$, 0 ＜ β ＜ $\frac{π}{2}$,求α - β的值.

答案： 解:由cosα = - $\frac{\sqrt{5}}{5}$，π ＜ α ＜ $\frac{3π}{2}$，得sinα = - $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanα = 2.　又tanβ = $\frac{1}{3}$，于是tan(α - β) = $\frac{tanα - tanβ}{1 + tanαtanβ}$ = $\frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2×\frac{1}{3}}$ = 1.　由π ＜ α ＜ $\frac{3π}{2}$，0 ＜ β ＜ $\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{2}$ ＜ α - β ＜ $\frac{3π}{2}$，　因此α - β = $\frac{5π}{4}$.