《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例2]　已知如图表示电流强度I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系I = Asin(ωt + φ)(A＞0,ω＞0)的图象。

(1)试根据图象写出I = Asin(ωt + φ)的解析式。
(2)为了使I = Asin(ωt + φ)(A＞0,ω＞0)中t在任意一段$\frac{1}{100}$s的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值 - A,那么正整数ω的最小值是多少？

答案： 解:
(1)由题图知，A = 300，T = $\frac{1}{60}$ - (-$\frac{1}{300}$) = $\frac{1}{50}$，
所以ω = $\frac{2π}{T}$ = 100π。
因为(-$\frac{1}{300}$,0)是该函数图象的第一个点(“五点(画图)法”)，所以100π×(-$\frac{1}{300}$) + φ = -$\frac{π}{2}$，所以φ = $\frac{π}{3}$，
所以I = 300sin(100πt + $\frac{π}{3}$)(t≥0)。
(2)问题等价于T≤$\frac{1}{100}$，即$\frac{2π}{ω}$≤$\frac{1}{100}$，
所以ω≥200π，所以最小的正整数ω为629。

已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为s = 4sin(2t + $\frac{π}{3}$)，t∈[0,+∞)。用“五点(画图)法”作出这个函数的简图，并回答下列问题:
(1)小球在开始振动(t = 0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？

答案：
解:列表如下。

描点、连线，图象如图所示。
(1)将t = 0代入s = 4sin(2t + $\frac{π}{3}$)，得
s = 4sin$\frac{π}{3}$ = 2$\sqrt{3}$。
所以小球开始振动时的位移是2$\sqrt{3}$cm。
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm 和 -4cm。
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs。