《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

[典例1]　如图所示,某动物种群数量1月1日(t = 0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化。

(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来经过的月数为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量。

答案： 解:
(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y = Asin(ωt + φ) + b(A＞0, ω＞0)，则$\begin{cases}-A + b = 700\\A + b = 900\end{cases}$
解得A = 100，b = 800。又周期T = 2×(6 - 0) = 12，
∴ω = $\frac{2π}{T}$ = $\frac{π}{6}$，
∴y = 100sin($\frac{π}{6}$t + φ) + 800。
又当t = 6时，y = 900，
∴900 = 100sin($\frac{π}{6}$×6 + φ) + 800。
∴sin(π + φ) = 1，
∴sinφ = -1，
∴取φ = -$\frac{π}{2}$。
∴y = 100sin($\frac{π}{6}$t - $\frac{π}{2}$) + 800。
(2)当t = 2时，y = 100sin($\frac{π}{6}$×2 - $\frac{π}{2}$) + 800 = 750，
即当年3月1日动物种群数量约为750。

已知某地一天从4时至16时的温度变化曲线近似满足函数y = 10sin($\frac{π}{8}$x - $\frac{5π}{4}$) + 20，x∈[4,16]。
(1)求该地这一段时间内的温差;
(2)若有一种细菌在15~25℃范围内可以生存,那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

答案： 解:
(1)当x = 14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x = 6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，
所以温差为30℃ - 10℃ = 20℃。
(2)令10sin($\frac{π}{8}$x - $\frac{5π}{4}$) + 20 = 15，得sin($\frac{π}{8}$x - $\frac{5π}{4}$) = -$\frac{1}{2}$，而x∈[4,16]，所以x = $\frac{26}{3}$。令10sin($\frac{π}{8}$x - $\frac{5π}{4}$) + 20 = 25，得sin($\frac{π}{8}$x - $\frac{5π}{4}$) = $\frac{1}{2}$，而x∈[4,16]，所以x = $\frac{34}{3}$。
故该细菌能存活的最长时间为$\frac{34}{3}$ - $\frac{26}{3}$ = $\frac{8}{3}$(h)。