《2025年新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. 化简下列各式:
(1)$\overrightarrow{ AB} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{FA}$;
(2) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{BO}+ \overrightarrow{OM}$.

答案： 解:
(1)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$。
(2)$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}$。

[典例3]　一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A,C两地相距300km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离。

答案：
解:如图所示，
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 300$km，
所以$|\overrightarrow{BC}| = 300\sqrt{2}$km。
又因为$\angle ABC = 45^{\circ}$，且A地在B地的南偏东$30^{\circ}$的方向处，可知C地在B地的南偏东$75^{\circ}$的方向处。故飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东$75^{\circ}$，B，C两地间的距离为$300\sqrt{2}$km。
　

1. 已知向量a表示“向东航行3km”，b表示“向南航行3km”，则a + b表示　　　　　　(　　　)
A. 向东南方向航行6km
B. 向东南方向航行3$\sqrt{2}$km
C. 向南偏东60°方向航行3$\sqrt{2}$km
D. 向南偏东30°方向航行3$\sqrt{2}$km

答案： B

2. 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。

答案：
解:设$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$分别表示飞机从A地按北偏东$35^{\circ}$的方向飞行800km，从B地按南偏东$55^{\circ}$的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$，两次飞行的位移的和是$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$。
　依题意，有$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = 800 + 800 = 1600$km。
　因为$\angle ABC = 35^{\circ} + 55^{\circ} = 90^{\circ}$，
　所以$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^{2} + |\overrightarrow{BC}|^{2}} = \sqrt{800^{2} + 800^{2}} = 800\sqrt{2}$km。其中$\angle BAC = 45^{\circ}$，
　所以方向为北偏东$35^{\circ} + 45^{\circ} = 80^{\circ}$。
　从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为$800\sqrt{2}$km，方向为北偏东$80^{\circ}$。